Espaces euclidiens
Exercices corrigés sur le thème « espaces euclidiens » pour les classes de Sup Mpsi Pcsi, et Spé Mp, Pc, Psi (posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)

Un problème de minimisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in S_{n}(\mathbb{R})}

à valeurs propres strictement positives.
Soit

{B\in \mathbb{R}^{n}}

, et

{f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}}

définie par

{f(X)={X}^{\top}A\,X-2\,{B}^{\top}X}

.
Montrer que

{f}

possède un minimum et le déterminer.

➡️

Une matrice symétrique positive

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{f\colon[0,1]\to\mathbb{R}^+}

continue. Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{a_{ij}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{i+j-2}f(t)\,\text{d}t}

. Montrer que

{\text{Sp}(A)\subset\mathbb{R}^+}

➡️

(f(x)|f(y))=(x|y) implique f linéaire

(Oral X-Cachan)
Soit

{({E,\left({\cdot}\mid{\cdot}\right))}}

un espace euclidien.
Soit

{f:E\rightarrow E}

telle que

{\forall\, (x,y)\in {E^{2}}}

{\left({f(x)}\mid{f(y)}\right)=\left({x}\mid{y}\right)}

.
Montrer que

{f}

est linéaire.

➡️

Spectre de M^T M et de M M^T

(Oral XCachan)
Soit

{M\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})}

.
Comparer le spectre de

{{M}{M}^{\top}}

et de

{{M}^{\top}M}

➡️

Réduction d’une matrice symétrique

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{a_{i,i}=4}

{a_{i,j}=1}

{i\ne j}

.
Diagonaliser

A

dans le groupe orthogonal.

➡️

Un endomorphisme symétrique

(Oral Ccp)
On se place dans

{\mathbb{R}_{n}[X]}

, muni de

{\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}PQ}

.
Soit

{\varphi\,\colon P\mapsto(2X\!-\!1)P'\!+\!(X^{2}\!-\!X)P''}

.
Montrer que

{\varphi}

est symétrique.

➡️

Identifier une transformation de ℝ³

(Oral Ccp)
Transformation associée à

{M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\-2&1&-2\\-1&2&2\end{pmatrix}}

➡️

Minimum de (f(x)|x)

(Oral Ccp)
Soit

f

un endomorphisme symétrique de

E

euclidien.
On caractérise les vecteurs

x

unitaires qui minimisent

\bigl(f(x)\mid x\bigr)

➡️

Un endomorphisme symétrique de ℝ_n[X]

On munit

{\mathbb{R}_{n}[X]}

{\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{2}P(t)Q(t)\,\text{d}t}

.
Étudier l’endomorphisme

{P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}

➡️

M → AM-MA avec A symétrique réelle

(Oral Tpe)
Soient

{A \in S_{n}(\mathbb{R})}

{\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))}

défini par :

{\varphi(M) = AM -MA}

. Former une base orthonormale de diagonalisation de

{\varphi}

. Que vaut

{\text{rg}(\varphi)}

➡️

Un endomorphisme symétrique

(Oral Tpe)
Soit

u

un vecteur unitaire de

{E}

euclidien, et soit

{a \in\mathbb{R}^{*}}

.
On étudie l’endomorphisme

{f_{a}}

E

défini par

{f(x)= x + a\left({u}\mid{x}\right)u}

➡️

Inégalité entre trace et rang

(Oral Ccem)
Soit

{A\in S_{n}(\mathbb{R})}

. Montrer que

{\text{tr}(A)^{2}\le \text{rg}(A)\,\text{tr}(A^{2})}

➡️

Matrices telles que : A A^T A = I_n

(Oral Ensea)
Chercher les matrices

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

telles que

{A\,{A}^{\top}A = I_{n}}

. Et dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

➡️

A nilpotente réelle commutant avec A^T

(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Déterminer

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

nilpotente et telle que

{A^{\top}A=A\,A^{\top}}

➡️

Diagonalisabilité de A^2

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

une matrice telle que

{A^{2}}

soit diagonalisable.
Montrer que

{A}

est diagonalisable si et seulement si

{\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^{2})}

.
Étudier le cas où la matrice

A

est antisymétrique réelle.

➡️

Endomorphisme et produit vectoriel

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u}

dans

{E}

euclidien orienté de dimension

{3}

.
Déterminer les

{f\in\mathcal{L}(E)}

tels que

{x\wedge u}

f(x)

sont liés pour tout

{x\in E}

➡️

Réflexions conjuguées

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{H_{1}, H_{2}}

deux hyperplans de

{E}

euclidien. On note

{s_{i}}

la réflexion par rapport à

{H_{i}}

.
Montrer que

{s_{1}s_{2}=s_{2}s_{3}}

, où

{s_{3}}

est la réflexion par rapport à

{H_{3}=s_2(H_1)}

➡️

Trace et matrices orthogonales

(Oral Ccp)
Si

{\Omega\in O(n)}

{S\in S_{n}(\mathbb{R})}

, avec

{\text{Sp}(S)\subset\mathbb{R}^{+}}

, alors

{\text{tr}(\Omega S)\le\text{tr}(S)}

➡️

Trace et endomorphismes symétriques

(Oral CCInp)
Si

f,g

sont symétriques positifs, alors

{0\le \text{tr}(gf)\le \text{tr}(g)\text{tr}(f)}

➡️

Produit scalaire et déterminant

(Oral Ccp)
Soit

{A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}

. Montrer que :

{\forall x\in\mathbb{R},\;1 +\left(x \mid A^{-1}x\right) =\dfrac{\det(x\,{x}^{\top}+A)}{\det(A)}}

➡️