Matrices orthogonales
Exercices sur le thème « matrices orthogonales »
Espaces euclidiens
Orthogonalité (2/2)
Exercices sur le thème « orthogonalité » (2/2)
Orthogonalité (1/2)
Exercices sur le thème « orthogonalité » (1/2)
Matrices symétriques, produits scalaires
Trois exercices sur le thème « Matrices symétriques et produits scalaires »
Matrices symétriques réelles
Six exercices simples sur le thème « matrices symétriques réelles ».
Morphismes pour le produit vectoriel
On se place dans {\mathbb{R}^3} euclidien orienté.
Trouver les endomorphismes {f} tels que : {\forall\; u,v\in \mathbb{R}^3,\;f(u\wedge v)=f(u)\wedge f(v)}
Trouver les endomorphismes {f} tels que : {\forall\; u,v\in \mathbb{R}^3,\;f(u\wedge v)=f(u)\wedge f(v)}
Rotations vectorielles du plan
Trois exercices sur le thème « rotations vectorielles du plan ».
Exercices sur le produit vectoriel
Quatre exercices sur le thème « produit vectoriel ».
Orthogonalité de M → AM
Soit {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} muni du produit scalaire {\left({A}\!\mid\!{B}\right)\!=\!\text{tr}({A}^{\!\top}B)}
Pour quelles matrices {M} l’application {A\mapsto AM} est-elle une isométrie?
Pour quelles matrices {M} l’application {A\mapsto AM} est-elle une isométrie?
Matrice orthogonale et inégalités
Soit {A=(a_{ij})} une matrice orthogonale d’ordre {n}.
Prouver que: {\displaystyle\sum_{i,j=1}^n\left|{a_{ij}}\right|\le n\sqrt n\;} et {\;\Bigl|\displaystyle\sum_{i,j=1}^na_{ij}\Bigr|\le n}
Prouver que: {\displaystyle\sum_{i,j=1}^n\left|{a_{ij}}\right|\le n\sqrt n\;} et {\;\Bigl|\displaystyle\sum_{i,j=1}^na_{ij}\Bigr|\le n}
Orthogonales et triangulaires à la fois
Montrer que dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, les seules matrices à la fois orthogonales et triangulaires sont les matrices diagonales à coefficients diagonaux égaux à {\pm 1}.
Distance à un sous-espace
Dans un espace euclidien E, on introduit la notion de matrice de Gram d’une famille de vecteurs.
On voit ensuite comment la distance d’un vecteur x à un sous espace F de E s’exprime comme le quotient des déterminants de deux matrices de Gram.
On voit ensuite comment la distance d’un vecteur x à un sous espace F de E s’exprime comme le quotient des déterminants de deux matrices de Gram.
Éléments propres de M quand MMT=MTM
Soit {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {M{M}^{\top}={M}^{\top}M}.
Montrer que {M,{M}^{\top}} ont mêmes sev propres, et qu’ils sont orthogonaux deux à deux.
Montrer que {M,{M}^{\top}} ont mêmes sev propres, et qu’ils sont orthogonaux deux à deux.
Noyau de M+MT quand M2=0
Soit {M} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, telle que {M^{2}=0}.
Montrer que {\text{Ker}(M+{M}^{\top})=\text{Ker}(M)\cap\text{Ker}({M}^{\top})}.
Montrer que {\text{Ker}(M+{M}^{\top})=\text{Ker}(M)\cap\text{Ker}({M}^{\top})}.
Conservation de l’orthogonalité
Soit {E} un espace vectoriel euclidien, et soit {f\in{\mathcal L}(E)}.
On suppose que : {\forall\, (u,v)\in E^{2},\;\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}
Montrer : {\exists\,\lambda\ge0,\;\forall\, u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|}.
On suppose que : {\forall\, (u,v)\in E^{2},\;\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}
Montrer : {\exists\,\lambda\ge0,\;\forall\, u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|}.
Procédé de Gram-Schmidt
On munit {\mathbb{R}_4[X]} de {\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}.
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique {1,X,X^{2},X^{3},X^{4}}.
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique {1,X,X^{2},X^{3},X^{4}}.
Inégalités entre traces
Soit {A,B} deux matrices symétriques réelles d’ordre {n}.
Montrer que {\bigl(\text{tr}(AB)\bigr)^{2}\le\text{tr}(A^{2})\,\text{tr}(B^{2})}.
Qu’obtient-on par exemple si {B=I_{n}}? Cas d’égalité?
Montrer que {\bigl(\text{tr}(AB)\bigr)^{2}\le\text{tr}(A^{2})\,\text{tr}(B^{2})}.
Qu’obtient-on par exemple si {B=I_{n}}? Cas d’égalité?
Deux isométries de l’espace
(Oral Ccp)
Identifier {\dfrac13\begin{pmatrix} 1&-2&2\\ -2&1&2\\ 2&2&1\end{pmatrix}} et {\dfrac19\begin{pmatrix}8&1&-4\\-4&4&-7\\1&8&4\end{pmatrix}}
Identifier {\dfrac13\begin{pmatrix} 1&-2&2\\ -2&1&2\\ 2&2&1\end{pmatrix}} et {\dfrac19\begin{pmatrix}8&1&-4\\-4&4&-7\\1&8&4\end{pmatrix}}
Matrice de projection orthogonale
Matrice de la projection orthogonale de {\mathbb{R}^{4}} sur {F:\begin{cases}x+y+z+t=0\\x-y+z-t=0\end{cases}}
Base dont l’image est orthogonale
(Oral Mines-Ponts)
Soit {u\in\mathcal{L}(E)}, où {E} est euclidien. Prouver l’existence d’une base {(e_{1},\ldots ,e_{n})} de {E} telle que la famille {(u(e_{1}),\cdots,u(e_{n}))} soit orthogonale.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)}, où {E} est euclidien. Prouver l’existence d’une base {(e_{1},\ldots ,e_{n})} de {E} telle que la famille {(u(e_{1}),\cdots,u(e_{n}))} soit orthogonale.