Suites et séries de fonctions

Exercices corrigés de Mathprepa pour le chapitre « Suites et séries de fonctions », posés aux concours (Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Inp, etc.)

Étude d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine, continuité, dérivabilité de

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{n(1+nx^{2})}}

.
Donner un équivalent de

{f}

{0}

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Développement d’Euler de cotan(π x)

((Oral Centrale Mp)
Développement d’Euler de cotan(π x) en série de fonctions.

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Convergence cubique d’un produit infini

(Oral Centrale Mp)
Convergence cubique d’un produit infini

➡️

Polynômes et suite de Fibonacci

(Oral Centrale Mp)
Étude des

{P_n(x)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1-x^{F_k})}

, où les

{F_k}

forment la suite de Fibonacci.

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Convergence d’une suite de fonctions

(Oral Centrale Mp)
Convergence simple de la suite des fonctions

{x\mapsto f_{n}(x)=\text{e}^{-nx}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(nx)^k}{k!}}

➡️

Racines du polynôme dérivé (bis)

(Oral Centrale Mp)
Comportement asymptotique des racines de

{P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k^2)}

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Étude de la fonction

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n\in \mathbb{N}}\ln (1+e^{-nx})}

. Équivalent de

f

0

➡️

Régularité d’une série de fonctions

On étudie la régularité de

{\displaystyle\sum\limits f_n}

, où :

{\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\forall\, x\in \mathbb{R}^+,f_n\left(x\right)=\dfrac{\text{e}^{-nx}}{(n+x)^2}}

➡️

Séries de fonctions trigonométriques

On étudie la série de fonctions

{\displaystyle\sum_{n\ge0} f_n}

, où :

{\forall\, x\in[0,\pi],\;f_n(x)=\sin x\,\cos^nx}

➡️

Série de fonctions, convergence, somme

Série de fonctions

{\sum f_n}

définie par :

{\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\forall\, x\in \mathbb{R}^+,f_n\left(x\right)=n\, x^2\text{e}^{-nx}}

➡️

La série de fonctions ∑(-1)ⁿ/√(n+x)

Domaine et variations de

{S\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+x}}}

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Une série de fonctions alternée

(Oral Ccp)
Convergence (simple, uniforme) et limite en

0^+

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{x}\ln\left (1+\dfrac{x}{n}\right )}

➡️

Variations d’une série de fonctions

(Oral CCinp et Mines-Ponts)
On pose

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(nx+1)}}

.
Dérivabilité de

{f}

, et équivalent en

{0}

et en

+\infty

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Continuité d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Convergence et continuité de

{\displaystyle\sum \dfrac{1}{1+e^{nx}}}

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Dérivabilité d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Convergence et caractère

{{\mathcal C}^1}

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{1+(nt)^2}}

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Suite puis série de fonctions

Étudier la suite puis la série des

{h_{n}(x)=x^{2n+1}\ln(x)}

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Série de fonctions, étude aux bornes

(Oral Ccp)
Pour

{|a|\lt1}

x\gt0

, étudier

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a^{n}}{n+x}}

, notamment en

0^+

+\infty

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Une série de fonctions

(Oral Ccp et Mines-Ponts)
On étudie la série de fonction

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{x e^{-nx}}{\ln(n)}}

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Série alternée de fonctions

(Oral Ccp)
Étudier

{S(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n}\text{e}^{-(n+1)x}}

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Une série de fonctions

(Oral Ccp)
Définition et continuité de

{x\mapsto S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2}}{\text{e}^{-2nx}+\text{e}^{3nx}}}

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