Calculs de sommes de séries

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr, pour le chapitre « Séries numériques », dans la catégorie « Calculs de sommes de séries ».

Sommes harmoniques et nombre d’Apery

(Oral Centrale) On définit un certain nombre de séries numériques dans lesquelles apparaissent les sommes harmoniques

{H_n}

. Par des manipulations algébriques, on exprime

{\zeta(3)}

(la constante d’Apery) comme la somme d’une telle série.

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Intégrales et séries

(Oral Ensam)
On pose

{a_{n}=-\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{n}\ln t}{t+1}\,\text{d}t}

Montrer que

{(a_{n})}

est définie, et déterminer sa limite.
Déterminer un équivalent de

{a_{n}}

.
Calculer

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}}

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}

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Une série de produits

(Oral Ccp)
Soit

{(a_{n})_{n\geq 1}}

une suite de

{\mathbb{R}^+}

.
On pose :

{u_{n}=\dfrac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right) \ldots \left(1+a_{n}\right)}}

Calculer

{u_{1}+u_{2}}

, et généraliser.
Montrer que la série

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_{n}}

converge.
Calculer

{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_{n}}

quand

{a_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}}

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Un calcul de somme de série

(Oral Tpe)
Calculer

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n}

, où

{u_n=\dfrac{1}{n(2n-1)2^n}}

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Encore une série d’intégrales

(Oral Ccp)
On pose

{u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n}\sin (\pi x)\,\text{d}x}

.
Étudier la convergence de

{\displaystyle\sum_{n\ge0} u_{n}}

.
Montrer que :

{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi }\dfrac{\sin t}{t}dt}

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Somme d’une série d’intégrales

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{(p,q)\in\mathbb{N}^{2}}

, calculer

{I_{p,q}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{p}(1-t)^{q}\,\text{d}t}

.
Déterminer la nature et la somme de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}I_{n,n}}

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La formule de Simon Plouffe

(Oral XEns)
On va prouver que

{\pi=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}}

où :

{u_{k}\!=\!\dfrac{1}{16^{k}}\Bigl(\dfrac{4}{8k+1}\!-\!\dfrac{2}{8k+4}\!-\!\dfrac{1}{8k+5}\!-\!\dfrac{1}{8k+6}\Bigr)}

Soit ${a\in]0, 1[}$ . Montrer que pour ${n,p\in\mathbb{N}^*}$ : ${\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{x^{n-1}}{1-x^{p}}\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{a^{kp+n}}{kp+n}}$
En déduire que :
${\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}=16\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^5+t^4+2t^3-4}{t^8-16}\,\text{d}t}$ Simplifier ${R(X)=\dfrac{X^5+X^4+2X^3-4}{X^{8}-16}}$ .
Conclure.
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