Réduction des endomorphismes

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr pour le chapitre de deuxième année « Réduction des endomorphismes ».

Réduction d’une matrice en damier

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A = (a_{i,j})\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})}

telle que

{a_{i,j} = 1}

{i+ j}

est pair,

{a_{i,j} = 2}

sinon.
Diagonaliser A. Résoudre

{X^{2} + 2X = A}

dans

{{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})}

➡️

Sev stables par u diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E}

\mathbb{K}

-ev de dimension

{n\ge1}

{u \in{\mathcal L}(E)}

tel que

{\text{card}(\text{Sp}(u)) = n}

.
Dénombrer les sous-espaces de

{E}

qui sont stables par

{u}

➡️

Réduction d’une matrice en L

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{R}^{n}}

{M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{m_{i,n} = m_{n,i} = a_{i}}

pour tout

{i}

, et

{m_{i,j}=0}

sinon.
Montrer que

{M}

est diagonalisable puis diagonaliser

{M}

➡️

Diagonalisation et hyperplans stables

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}^n)}

, avec

{n\ge1}

. Montrer que

(a)\Leftrightarrow(b)

:
(a) l’endomorphisme

{f}

est diagonalisable,
(b) il existe

{n}

hyperplans

{H_{1},\cdots,H_{n}}

stables par

{f}

tels que

{H_{1}\cap\cdots\cap H_{n} = \{0\}}

➡️

Racines carrées d’une matrice

(Oral Mines-Ponts)
Trouver les

{M\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{C})}

{M^2=}

{\begin{pmatrix}0& 1& 1& 1\\1& 0& 1& 1\\1& 1& 0& 1\\1& 1& 1& 0\end{pmatrix}}

➡️

Matrice unipotente

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

{\omega}

tel que

\omega^p=1

{\omega^{-1}\notin\text{Sp}(M)}

.
Montrer que :

{M^{p}=I_{n}\Leftrightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\omega^{k}M^{k}=0}

➡️

Diagonalisation et suite de puissances

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

avec des

{1}

sur les premières et dernières lignes/colonnes, des

{0}

ailleurs.
Préciser

{\text{Sp}(A)}

. Montrer :

{\forall\, k\ge3,\;\exists\,(\lambda_{k},\mu_{k}),\;A^{k}=\lambda_{k}A+\mu_{k}A^{2}}

➡️

Réduction d’une matrice circulante

(Oral Ccp)
Soit

{a=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n-1})\in\mathbb{C}^{n}}

.
Diagonaliser

{M(a)\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

où

{m_{i,j}=a_{(i-j)\!\!\mod n}}

➡️

Matrice semblable à son opposée

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in {\mathcal M}_{2}(\mathbb{C})}

. Alors (

{A}

est semblable à

{-A}

)

{\Longleftrightarrow\text{tr}(A) = 0}

➡️

Racine carrée de la dérivation?

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E_{1}}

le plan de

{E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

engendré par

x\mapsto\sin x

x\mapsto \cos x

.
Existe-t-il

{u\in{\mathcal L}(E_1)}

tel que :

{\forall f\in E_1,\;u^{2}(f)=f'\;}

?
Existe-t-il

{v\in{\mathcal L}(E)}

tel que :

{\forall f\in E,\;v^{2}(f)=f'\;}

➡️

Les cos(kx) et sin(kx) sont libres

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que les fonctions

{x\mapsto \cos(x)}

{x\mapsto \sin(x)}

{x\mapsto \cos(2x)}

{x\mapsto \sin(2x)}

{\ldots}

{x\mapsto \cos (nx)}

{x\mapsto \sin(nx)}

sont linéairement indépendantes.

➡️

Inversibilité et déterminant

(Oral Tpe)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

avec

a_{i,j}=1

j\equiv i\!+\!1\ [n]\!

, et

a_{i,j}=0

sinon.
Inversibilité de

{B_p=\displaystyle\sum_{m=0}^{p-1}A^{m}}

, et calcul de

{\det(B_p)}

➡️

Diagonalisation et série numérique

(Oral Centrale)
Nature de

{\displaystyle\sum\sin(\pi\,a^{n})}

, où

a

est la valeur propre réelle de

{A={\small\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}

➡️

Matrice triangulaire diagonalisable?

(Oral Petites Mines)
La matrice

A=

\begin{pmatrix}1&a&b&c\\0&1&d&e\\0&0&2&f\\0&0&0&2\end{pmatrix}

est-elle diagonalisable?

➡️

Un endomorphisme diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{P\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

, avec

P^2=P

. Diagonalisabilité de

{\Phi\colon M\mapsto PM+MP}

➡️

M^2 diagonalisable => M ?

(Oral Telecom Sud Paris)
Soit

{M\in\text{G}L_n(\mathbb{C})}

, avec

{M^2}

diagonalisable. Montrer que

{M}

est diagonalisable.

➡️

Un polynôme caractéristique

(Oral Tpe)
Déterminer

\chi_{A}

pour

{A\in\text{G}L_5(\mathbb{R})}

, sachant que

{\text{tr}(A)=2}

{A^3+A^2=2A}

➡️

Endomorphisme et dérivation

(Oral Ccp)
Soit

{E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

. Soit

{\Phi\,\colon f\mapsto g}

, avec

{g(x)=f'(x)-xf(x)}

. Étudier les éléments propres de

\Phi

, et déterminer

{\text{Ker}(\Phi^{n})}

➡️

Spectre d’un endomorphisme intégral

(Oral Ccp)
Soit

{E={\mathcal C}([-\pi,\pi ],\mathbb{R})}

.
Éléments propres de

\Phi

définie sur

E

par

{\Phi(f)(x)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x-t)f(t)\,\text{d}t}

➡️

Réduction endomorphisme matriciel

(Oral Ccp)
Soit

{\varphi\colon{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K})\rightarrow{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K}),\;\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} d&a\\ b&c\end{pmatrix}}

.
L’endomorphisme

{\varphi}

est-il diagonalisable ?

➡️