Sous-algèbre sans nilpotents
(Oral Centrale) Soit {\mathcal{A}} une sous-algèbre commutative de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}), contenant In et sans nilpotent. Alors {\dim(\mathcal{A})\le n} et les éléments de {\mathcal{A}} sont diagonalisables.
Matrices nilpotentes
Sous-espace de matrices qui commutent
(Oral Centrale) On détermine la dimension maximale d’un sous-espace de {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})} formé de matrices qui commutent deux à deux.
Sous-espaces de matrices nilpotentes
(Oral Centrale) On s’intéresse ici à des sous-espaces de matrices carrées d’ordre {n} toutes nilpotentes, et à la dimension maximale d’un tel sous-espace.
Algorithme de Babylone matriciel
Oral Centrale) À partir d’une matrice carrée, on étudie la suite des itérées par la transformation {A\to(A+A^{-1})/2} (généralisation matricielle de l’algorithme de Babylone)
Sous-espaces stables, commutant
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=\begin{pmatrix}{1} & {j} & {j^{2}} \\ {j} & {j^{2}} & {1} \\ {j^{2}} & {1} & {j}\end{pmatrix}}, où {j=\text{e}^{2i\pi/3}}.
La matrice {A} est-il diagonalisable ?
Déterminer les sous-espaces stables par {A}.
Déterminer la dimension de :{\mathcal{C}_A=\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}
Soit {A=\begin{pmatrix}{1} & {j} & {j^{2}} \\ {j} & {j^{2}} & {1} \\ {j^{2}} & {1} & {j}\end{pmatrix}}, où {j=\text{e}^{2i\pi/3}}.
La matrice {A} est-il diagonalisable ?
Déterminer les sous-espaces stables par {A}.
Déterminer la dimension de :{\mathcal{C}_A=\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}
Égalité matricielle AB-BA=B
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {AB-BA=B\ (\star)}
Calculer {\mathrm{tr}(B)}. Montrer que {B} n’est pas inversible.
Montrer : {\forall\,k\in \mathbb{N},\;AB^{k}-B^{k}A=kB^{k}}.
En déduire que {B} est nilpotente (plusieurs méthodes)
Soient {A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {AB-BA=B\ (\star)}
Calculer {\mathrm{tr}(B)}. Montrer que {B} n’est pas inversible.
Montrer : {\forall\,k\in \mathbb{N},\;AB^{k}-B^{k}A=kB^{k}}.
En déduire que {B} est nilpotente (plusieurs méthodes)
Combinaisons de matrices nilpotentes
(Oral Mines-Ponts & Ensam)
Soient {A,B} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} : la matrice {A+tB} est-elle nilpotente? Réciproquement, s’il existe des {t_k} distincts tels que {A+t_kB} soit nilpotente, les matrices {A,B} sont-elles nilpotentes?
Soient {A,B} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} : la matrice {A+tB} est-elle nilpotente? Réciproquement, s’il existe des {t_k} distincts tels que {A+t_kB} soit nilpotente, les matrices {A,B} sont-elles nilpotentes?
Matrice semblable à son opposée
(Oral Mines-Ponts)
Soit {M\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})} une matrice nilpotente.
Soit {p} son indice de nilpotence. Montrer que {p\leq 3}.
On suppose {p=3}. Montrer que {A} est semblable à {-A} si et seulement si {\det A=\text{tr}\,A=0}
Soit {M\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})} une matrice nilpotente.
Soit {p} son indice de nilpotence. Montrer que {p\leq 3}.
On suppose {p=3}. Montrer que {A} est semblable à {-A} si et seulement si {\det A=\text{tr}\,A=0}
Nilpotence et trace des puissances
(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} avec {\mathrm{tr}(A^{k})=0} pour tout {k\ge1}.
Montrer que {A} est nilpotente (deux méthodes).
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} avec {\mathrm{tr}(A^{k})=0} pour tout {k\ge1}.
Montrer que {A} est nilpotente (deux méthodes).
Réduction d’endo. nilpotent
(Oral Centrale 2018)
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}, avec {\dim(E)=3n}.
On suppose {v^{3}=0}, {v^{2}\neq 0} et {\mathrm{rg} (v)=2n}.
Montrer que {\text{Ker}(v)\subset \text{Im}(v^2)}.
Former une base où {v} a pour matrice {\begin{pmatrix}0_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ I_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & I_{n} & 0_{n}\end{pmatrix}}
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}, avec {\dim(E)=3n}.
On suppose {v^{3}=0}, {v^{2}\neq 0} et {\mathrm{rg} (v)=2n}.
Montrer que {\text{Ker}(v)\subset \text{Im}(v^2)}.
Former une base où {v} a pour matrice {\begin{pmatrix}0_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ I_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & I_{n} & 0_{n}\end{pmatrix}}
Existence d’un vecteur cyclique
(Oral Centrale 2018)
Soit {E} un ev de dimension {n\geq 1}. Soit {u\in\mathcal{L}(E)}.
On dit que {x\in E} est cyclique si {(x,u(x),\ldots,u^{n-1}(x))} est une base de {E}.
Dans cet exercice, on étudie l’existence d’un vecteur cyclique.
Soit {E} un ev de dimension {n\geq 1}. Soit {u\in\mathcal{L}(E)}.
On dit que {x\in E} est cyclique si {(x,u(x),\ldots,u^{n-1}(x))} est une base de {E}.
Dans cet exercice, on étudie l’existence d’un vecteur cyclique.
Matrices nilpotentes semblables à …
(Mines-Ponts 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{K})}, une matrice nilpotente.
Montrer que {A} est semblable à {\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}}, {\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}}, ou {\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}}
Soit {A\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{K})}, une matrice nilpotente.
Montrer que {A} est semblable à {\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}}, {\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}}, ou {\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}}
Vect des matrices nilpotentes
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {n\geq 2}, et {\mathcal{N}=\{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;M^{n}=0\}}. Déterminer Vect{(\mathcal{N})}.
Soit {n\geq 2}, et {\mathcal{N}=\{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;M^{n}=0\}}. Déterminer Vect{(\mathcal{N})}.
4A³+2A²+A=0, avec A ∈ Mn(ℤ)
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})} avec {4A^{3}+2A^{2}+A=0}. Que dire de {A} ?
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})} avec {4A^{3}+2A^{2}+A=0}. Que dire de {A} ?
Une condition de nilpotence
(Oral Mines-Ponts)
Soit {M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. Alors {M} est nilpotente {\Leftrightarrow\forall k\in\mathbb{N}^*,\;\mathrm{t}\mathrm{r}(M^{k})=0}.
Soit {M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. Alors {M} est nilpotente {\Leftrightarrow\forall k\in\mathbb{N}^*,\;\mathrm{t}\mathrm{r}(M^{k})=0}.
Une trigonalisation 4×4
Soit {A=}{\begin{pmatrix}1&-1&0&0\cr 0&0&1&-1\cr 0&0&-1&1\cr -1&1&0&0\end{pmatrix}}. Calculer A^3. Peut-on dia(tri)gonaliser A?