Une jolie égalité intégrale/série
Prouver l’égalité {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\,\text{d}x}{\,x^{x}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\,\dfrac{1}{n^{n}}}.
Mathprepa Exercices corrigés
Encore une intégrale à paramètre
Pour tout réel {x}, montrer que : {\forall\,x\in\mathbb{R},\;\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(xt)}{t}\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\arctan(x)}
Calcul d’une intégrale à paramètre
Montrer : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-t^{2}}\cos(xt)\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\text{e}^{-x^{2}/4}}
Une intégrale généralisée (2/2)
Existence et calcul de {g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-t}-\text{e}^{-xt}}{t}\text{d}t}.
Une intégrale généralisée (1/2)
Existence et calcul de {I=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x}}{x}\,\text{d}x}.
Une intégrale « nulle »
Existence puis calcul de {\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\,\text{d}x}.
Fonctions de carré intégrable
Soit {f} dans {\mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}. On suppose que {f} et {f''} sont de carré intégrable sur {\mathbb{R}}.
Montrer que {f'} est de carré intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
Montrer que {f'} est de carré intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
Intégrale de Lejeune-Dirichlet
Étudier la fonction {g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-xt}\dfrac{1-\cos(t)}{t^{2}}\,\text{d}t}.
En déduire {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}\,\text{d}t=\dfrac{\pi}{2}}.
En déduire {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}\,\text{d}t=\dfrac{\pi}{2}}.
Intégrale de Gauss
Dérivabilité de {g(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\text{e}^{-(1+t^{2})x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t}.
En déduire {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\text{e}^{-u^{2}}\,\text{d}u=\sqrt{\pi}}.
En déduire {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\text{e}^{-u^{2}}\,\text{d}u=\sqrt{\pi}}.
Intégrale généralisée « complexe »
Existence et calcul de l’intégrale {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{\text{e}^{t}-i}}.
DSE de arcsin2(x)
Développer {f(x)=\arcsin^{2}(x)} en série entière.
Un développement en série entière
Développer {f(x)=\arctan\left(\dfrac{x\sin\alpha}{1-x\cos\alpha}\right)} en série entière, où {0\lt \alpha\lt \dfrac\pi2}.
D’Alembert (ou pas)
Préciser la nature de {\displaystyle\sum u_n} et {\displaystyle\sum v_n}, où : {\begin{array}{rl}u_{n}&=\dfrac{2\cdot5\cdot8\cdots(3n\!-\!1)}{1\cdot5\cdot9\cdots(4n\!-\!3)}\\\\v_{n}&=\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\end{array}}
La série de fonctions ∑(-1)n/√(n+x)
Domaine et variations de {S\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+x}}}.
Une série à paramètres
Convergence (et somme éventuelle) de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\bigl(\sqrt{n}+a\sqrt{n\!+\!1}+b\sqrt{n\!+\!2}\bigr)}
Inégalités entre distances
Soit {x,y,z,t} quatre vecteurs d’un espace vectoriel normé E. Montrer que :
{\begin{array}{rl}\left\|{x\!-\!t}\right\|+\left\|{y\!-\!z}\right\|&\le\left\|{x\!-\!y}\right\|+\left\|{y\!-\!t}\right\|\\[6pts]&\quad+\left\|{t\!-\!z}\right\|+\left\|{z\!-\!x}\right\|\end{array}}
{\begin{array}{rl}\left\|{x\!-\!t}\right\|+\left\|{y\!-\!z}\right\|&\le\left\|{x\!-\!y}\right\|+\left\|{y\!-\!t}\right\|\\[6pts]&\quad+\left\|{t\!-\!z}\right\|+\left\|{z\!-\!x}\right\|\end{array}}
Étude d’une hélice
(Oral Centrale)
Étudier l’arc paramétré défini par :
x(t)=(1\!+\!\cos t)\cos(t), \;y(t)=(1\!+\!\cos t)\sin (t), \;z(t)=4\sin(t/2)
Étudier l’arc paramétré défini par :
x(t)=(1\!+\!\cos t)\cos(t), \;y(t)=(1\!+\!\cos t)\sin (t), \;z(t)=4\sin(t/2)
Équation différentielle y(3)-y = ept
Intégrales de Wallis hyperboliques
(Oral Centrale)
On étudie {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\,\text{sh}^n(t)\,\text{d}t} où \text{sh}(\alpha)=1
(calcul approché avec Python, relation de récurrence, limite, équivalent, séries…)
On étudie {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\,\text{sh}^n(t)\,\text{d}t} où \text{sh}(\alpha)=1
(calcul approché avec Python, relation de récurrence, limite, équivalent, séries…)
Tirage de boules impaires
(Oral Mines-Ponts)
Une urne contient {2n} boules numérotées de {1} à {2n}.
On les tire successivement et sans remise. On s’intéresse ici à l’apparition des boules de numéro impair.
Une urne contient {2n} boules numérotées de {1} à {2n}.
On les tire successivement et sans remise. On s’intéresse ici à l’apparition des boules de numéro impair.