Développement d’intégrale à paramètre
(Oral Centrale) On étudie {F(t)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{f(x)}{1+tf(x)}\text{d}x}, où {f} est continue positive intégrable sur {\mathbb{R}^+}.
Intégrales généralisées et séries
Intégrale de exp(-x^4)cos(xt)
(Oral Centrale) On étudie l’intégrale à paramètre {f(t)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\!\!\text{e}^{-x^4}\cos(xt)\,\text{d}x}
Intégrale de arctan(x tan(t))
(Oral Centrale) On étudie l’intégrale à paramètre {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\!\!\!\arctan(x \tan(t))\text{d}t}.
Série de fonctions et Fibonacci
(Oral Centrale) On étudie la somme de la série de fonctions {\sum x^n/(1-x^n)}. On termine par une expression de la série des {1/F_{2n}}, où {F} est la suite de Fibonacci.
Intégrale à paramètre et série
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f(x,t)=\dfrac{\sin (x t)}{\text{e}^{t}-1}} et {I(x)\!\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!f(x,t)\mathrm{d}t}
Montrer que {I} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer que {I(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{k^{2}+x^{2}}}.
En déduire {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}I(x)}.
Soit {f(x,t)=\dfrac{\sin (x t)}{\text{e}^{t}-1}} et {I(x)\!\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!f(x,t)\mathrm{d}t}
Montrer que {I} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer que {I(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{k^{2}+x^{2}}}.
En déduire {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}I(x)}.
Intégrales généralisées et séries
(Oral Mines-Ponts)
Trois exercices sur le thème « Intégrales généralisées et séries ».
Trois exercices sur le thème « Intégrales généralisées et séries ».
Intégrale de t^(t^x)
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f_x(t)=t^{t^x}=\text{e}^{t^x\ln t}} et {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f_x(t) \,\text{d}t} .
Montrer que {F} est croissante et continue sur {\mathbb{R}},
Écrire {F(x)} comme somme de série si {x>0}.
Étudier la limite de {F} en {+\infty}.
Soit {f_x(t)=t^{t^x}=\text{e}^{t^x\ln t}} et {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f_x(t) \,\text{d}t} .
Montrer que {F} est croissante et continue sur {\mathbb{R}},
Écrire {F(x)} comme somme de série si {x>0}.
Étudier la limite de {F} en {+\infty}.
Intégrales et séries
(Oral Ensam)
On pose {a_{n}=-\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{n}\ln t}{t+1}\,\text{d}t}
Montrer que {(a_{n})} est définie, et déterminer sa limite.
Déterminer un équivalent de {a_{n}}.
Calculer {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.
On pose {a_{n}=-\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{n}\ln t}{t+1}\,\text{d}t}
Montrer que {(a_{n})} est définie, et déterminer sa limite.
Déterminer un équivalent de {a_{n}}.
Calculer {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.
Série alternée d’intégrales
(Oral CCInp)
On note la fonction {\Gamma :x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,\text{d}t}.
On pose {u_{n}=\displaystyle\int_{n}^{n+1}\!\!\!\ln\Gamma(x)\,\text{d}x}.
Préciser la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n}}{u_{n}}}.
On note la fonction {\Gamma :x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,\text{d}t}.
On pose {u_{n}=\displaystyle\int_{n}^{n+1}\!\!\!\ln\Gamma(x)\,\text{d}x}.
Préciser la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n}}{u_{n}}}.
Une relation série-intégrale
(Oral Mines-Ponts)
On admet : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!e^{-x^{2}}dx=\dfrac{\sqrt{\pi }}{2}}. Montrer que : {I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!\dfrac{\sqrt{x}}{1+e^{x}}\text{d}x=\dfrac{(2-\sqrt{2})\sqrt\pi}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n\sqrt{n}}}
On admet : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!e^{-x^{2}}dx=\dfrac{\sqrt{\pi }}{2}}. Montrer que : {I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!\dfrac{\sqrt{x}}{1+e^{x}}\text{d}x=\dfrac{(2-\sqrt{2})\sqrt\pi}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n\sqrt{n}}}
Intégrale d’une fonction discrète
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(a_{n})} une suite strictement décroissante de limite {0}.
Pour {x>0}, soit {N(x)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\{n\in \mathbb{N};\;a_{n}\geq x\}}.
Montrer que {N} est intégrable sur {]0,+\infty \lbrack } si
et seulement si la série {\displaystyle\sum a_{n}} converge.
Montrer qu’alors {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!N(x)\,\text{d}x=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}.}
Soit {(a_{n})} une suite strictement décroissante de limite {0}.
Pour {x>0}, soit {N(x)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\{n\in \mathbb{N};\;a_{n}\geq x\}}.
Montrer que {N} est intégrable sur {]0,+\infty \lbrack } si
et seulement si la série {\displaystyle\sum a_{n}} converge.
Montrer qu’alors {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!N(x)\,\text{d}x=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}.}
Une série d’intégrales
(Oral CCInp)
On définit, pour {n\in \mathbb{N}}, {u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}\,{\rm d}x}{1+x+\cdots +x^{n}}}Déterminer la limite de {u_{n}} lorsque {n} en {+\infty }.
Déterminer la nature de {\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}}.
On définit, pour {n\in \mathbb{N}}, {u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}\,{\rm d}x}{1+x+\cdots +x^{n}}}Déterminer la limite de {u_{n}} lorsque {n} en {+\infty }.
Déterminer la nature de {\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}}.
Interversion intégrale/série
(Oral Centrale 2018)
Soit {\displaystyle\sum a_{n}} une série convergente.
Soit {S=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_k}, et {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a_{n}}{n!}x^{n}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(u)e^{-u}du=S}
Soit {\displaystyle\sum a_{n}} une série convergente.
Soit {S=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_k}, et {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a_{n}}{n!}x^{n}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(u)e^{-u}du=S}
Série entière et intégrale
(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!\dfrac{e^{-t}\,\text{d}t}{1-x\sin ^{2}t}} existe si {x\lt1}.
Développer {f} en série entière en {0}.
Montrer que {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!\dfrac{e^{-t}\,\text{d}t}{1-x\sin ^{2}t}} existe si {x\lt1}.
Développer {f} en série entière en {0}.
Intégrale et constante d’Euler
(Oral Mines-Ponts 2018)
On montre que {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\biggl(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\ln (1-t)}\biggr) \,\text{d}t=\gamma} (constante d’Euler)
On montre que {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\biggl(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\ln (1-t)}\biggr) \,\text{d}t=\gamma} (constante d’Euler)
Intégrale et série numérique
(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln (1-t^{2})\ln (t)}{t^{2}}\,\text{d}t=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(2n-1)^{2}}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln (1-t^{2})\ln (t)}{t^{2}}\,\text{d}t=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(2n-1)^{2}}}.
DSE d’une intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts 2018)
Préciser le domaine de {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{t\,\text{d}t}{x+e^{t}}}.
Montrer que {f} est développable en série entière
Préciser le domaine de {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{t\,\text{d}t}{x+e^{t}}}.
Montrer que {f} est développable en série entière
Étude d’une série de fonctions
(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine, continuité, dérivabilité de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{n(1+nx^{2})}}.
Donner un équivalent de {f} en {0}.
Domaine, continuité, dérivabilité de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{n(1+nx^{2})}}.
Donner un équivalent de {f} en {0}.
Une série numérique à paramètre
(Oral Centrale)
Étude de {S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}.
Étude de {S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}.
Intégrales généralisées
Prouver l’égalité {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(t)}{1-t^{2}}\,\text{d}t=-\dfrac{\pi^{2}}{8}}.
Prouver l’égalité {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{t\,\text{d}t}{\text{e}^{t}-1}=\dfrac{\pi^{2}}{6}}.