Intégrales généralisées et séries

Exercices corrigés

Intégrale à paramètre et série

(Oral Mines-Ponts)
Soit {f(x,t)=\dfrac{\sin (x t)}{\text{e}^{t}-1}} et {I(x)\!\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!f(x,t)\mathrm{d}t}
Montrer que {I} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer que {I(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{k^{2}+x^{2}}}.
En déduire {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}I(x)}.

Intégrale de t^(t^x)

(Oral Mines-Ponts)
Soit {f_x(t)=t^{t^x}=\text{e}^{t^x\ln t}} et {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f_x(t) \,\text{d}t} .
Montrer que {F} est croissante et continue sur {\mathbb{R}},
Écrire {F(x)} comme somme de série si {x>0}.
Étudier la limite de {F} en {+\infty}.

Intégrale d’une fonction discrète

(Oral Mines-Ponts)
Soit {(a_{n})} une suite strictement décroissante de limite {0}.
Pour {x>0}, soit {N(x)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\{n\in \mathbb{N};\;a_{n}\geq x\}}.
Montrer que {N} est intégrable sur {]0,+\infty \lbrack } si
et seulement si la série {\displaystyle\sum a_{n}} converge.
Montrer qu’alors {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!N(x)\,\text{d}x=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}.}

Intégrales généralisées

Prouver l’égalité {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(t)}{1-t^{2}}\,\text{d}t=-\dfrac{\pi^{2}}{8}}.

Prouver l’égalité {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{t\,\text{d}t}{\text{e}^{t}-1}=\dfrac{\pi^{2}}{6}}.