Développement d’intégrale à paramètre
(Oral Centrale) On étudie {F(t)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{f(x)}{1+tf(x)}\text{d}x}, où {f} est continue positive intégrable sur {\mathbb{R}^+}.
Convergence d’intégrales généralisées
Équation différentielle du 2nd ordre
(Oral Centrale) Soit {q :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{-*}} continue strictement négative. On s’intéresse aux solutions sur {\mathbb{R}^{+}} de l’équation différentielle {\left( \mathcal{E}_{q}\right) :y''+q(x)y=0}.
Intégrales généralisées et séries
(Oral Mines-Ponts)
Trois exercices sur le thème « Intégrales généralisées et séries ».
Trois exercices sur le thème « Intégrales généralisées et séries ».
Condition suffisante d’intégrabilité
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+*}} continue par morceaux.
On suppose que {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x+1)}{f(x)}=\alpha\in [0,1[}.
Montrer que {f} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}
Soit {f :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+*}} continue par morceaux.
On suppose que {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x+1)}{f(x)}=\alpha\in [0,1[}.
Montrer que {f} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}
Une intégrale d’intégrale
(Oral Mines-Ponts)
Soit {F : x \rightarrow \displaystyle\int_{x}^{+\infty} \dfrac{\sin t}{t^{2}}\,\text{d}t}.
Montrer que {F} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+^{*}}}.
Monrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!F(x)\,\text{d}x=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin u}{u}\mathrm{d}u}
Soit {F : x \rightarrow \displaystyle\int_{x}^{+\infty} \dfrac{\sin t}{t^{2}}\,\text{d}t}.
Montrer que {F} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+^{*}}}.
Monrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!F(x)\,\text{d}x=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin u}{u}\mathrm{d}u}
Intégrale de (f(bx)-f(ax))/x sur R+
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f} une fonction continue et intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
Soient {a,b\in \mathbb{R}} tels que {0\lt a\lt b}.
Existence et valeur de {J\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\dfrac{f(bx)-f(ax)}{x}dx}
Soit {f} une fonction continue et intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
Soient {a,b\in \mathbb{R}} tels que {0\lt a\lt b}.
Existence et valeur de {J\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\dfrac{f(bx)-f(ax)}{x}dx}
Logarithme de la fonction Gamma
(Oral Mines-Ponts)
Donner le domaine de {\Gamma :x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!t^{x-1}e^{-t}\text{d}t}.
Équivalent de {f(x)=\displaystyle\int_{x}^{x+1}\!\!\!\ln \Gamma (t)\,\text{d}t} en {+\infty}.
En déduire un équivalent de {\ln \Gamma(x)} en {+\infty }.
Donner le domaine de {\Gamma :x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!t^{x-1}e^{-t}\text{d}t}.
Équivalent de {f(x)=\displaystyle\int_{x}^{x+1}\!\!\!\ln \Gamma (t)\,\text{d}t} en {+\infty}.
En déduire un équivalent de {\ln \Gamma(x)} en {+\infty }.
Intégrale d’une fonction discrète
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(a_{n})} une suite strictement décroissante de limite {0}.
Pour {x>0}, soit {N(x)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\{n\in \mathbb{N};\;a_{n}\geq x\}}.
Montrer que {N} est intégrable sur {]0,+\infty \lbrack } si
et seulement si la série {\displaystyle\sum a_{n}} converge.
Montrer qu’alors {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!N(x)\,\text{d}x=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}.}
Soit {(a_{n})} une suite strictement décroissante de limite {0}.
Pour {x>0}, soit {N(x)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\{n\in \mathbb{N};\;a_{n}\geq x\}}.
Montrer que {N} est intégrable sur {]0,+\infty \lbrack } si
et seulement si la série {\displaystyle\sum a_{n}} converge.
Montrer qu’alors {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!N(x)\,\text{d}x=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}.}
Divergences en chaîne
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f(x)=\dfrac{\sin\ln(x)}{x}}. Montrer que {\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)\,\text{d}x} diverge.
En déduire que {n\mapsto\displaystyle\int_{1}^{n}f(x)\,\text{d}x} et {\displaystyle\sum_{n\ge2}f(n)} divergent.
Soit {f(x)=\dfrac{\sin\ln(x)}{x}}. Montrer que {\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)\,\text{d}x} diverge.
En déduire que {n\mapsto\displaystyle\int_{1}^{n}f(x)\,\text{d}x} et {\displaystyle\sum_{n\ge2}f(n)} divergent.
Intégrabilité de exp(i t^a)
(Oral XEns)
Discuter la convergence de l’intégrale : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!e^{it^{\alpha}}\,\text{d}t}.
Discuter la convergence de l’intégrale : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!e^{it^{\alpha}}\,\text{d}t}.
Existence d’une intégrale généralisée
(Oral CCInp)
L’intégrale {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\cos(\text{e}^{t})\,\text{d}t} a-t-elle un sens?
L’intégrale {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\cos(\text{e}^{t})\,\text{d}t} a-t-elle un sens?
Série des f(n) avec hypothèse sur f’
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^{+\ast},\mathbb{C})}, intégrable sur {[1,+\infty]}.
Comparer {\displaystyle\sum f(n)} et {n\mapsto \displaystyle\int_{1}^{n}f(t)\,\text{d}t} converge.
Application : nature de {\displaystyle\sum \dfrac{\cos \sqrt{n}}{n^{\alpha }}} quand {\alpha >\dfrac{1}{2}}.
Soit {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^{+\ast},\mathbb{C})}, intégrable sur {[1,+\infty]}.
Comparer {\displaystyle\sum f(n)} et {n\mapsto \displaystyle\int_{1}^{n}f(t)\,\text{d}t} converge.
Application : nature de {\displaystyle\sum \dfrac{\cos \sqrt{n}}{n^{\alpha }}} quand {\alpha >\dfrac{1}{2}}.
Nature d’intégrales généralisées
Nature des intégrales généralisées : {I=\displaystyle\int_0^1\left|1-x^\alpha\right|^\beta\,\text{d}x\;\text{et}\;J=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{\text{d}x}{x^\alpha(1+x^\beta)}}
Étude de la série des 1/n^z
(Oral Centrale 2018)
Déterminer une CNS sur {z\in\mathbb{C}} pour que {\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^{z}}}converge.
Déterminer une CNS sur {z\in\mathbb{C}} pour que {\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^{z}}}converge.
Existence d’une intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence de {J_{\alpha}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\left(\exp \left(\dfrac{\sin ^{2}t}{t^{\alpha}}\right)-1\right) \,\text{d}t}
Existence de {J_{\alpha}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\left(\exp \left(\dfrac{\sin ^{2}t}{t^{\alpha}}\right)-1\right) \,\text{d}t}
Intégrabilité de 1/(1+et |sin t|) sur ℝ+
Fonctions de carré intégrable
Soit {f} dans {\mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}. On suppose que {f} et {f''} sont de carré intégrable sur {\mathbb{R}}.
Montrer que {f'} est de carré intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
Montrer que {f'} est de carré intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
Équivalents et intégrales
(Oral Mines-Ponts)
Soit {\delta\in\,]\,0,1[}. Donner un équivalent de {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t} en {+\infty}.
Soit {\delta\in\,]\,0,1[}. Donner un équivalent de {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t} en {+\infty}.
Demi-dérivée d’une fonction continue
(Oral X-Cachan)
Si {f \in{\mathcal C}^{0}(\mathbb{R}^{+}}, soit {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)(x)\!=\!\displaystyle\dfrac{1}{\sqrt\pi}\!\!\int_{0}^{x}\!\!\dfrac{f(t)\,\text{d}t}{\sqrt{x-t}}}.
La dérivée de {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)}, notée {\mathcal{D}_{1\text{/}2}(f)} est appelée demi-dérivée de {f}. On étudie cette demi-dérivée pour certaines classes de fonctions f.
Si {f \in{\mathcal C}^{0}(\mathbb{R}^{+}}, soit {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)(x)\!=\!\displaystyle\dfrac{1}{\sqrt\pi}\!\!\int_{0}^{x}\!\!\dfrac{f(t)\,\text{d}t}{\sqrt{x-t}}}.
La dérivée de {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)}, notée {\mathcal{D}_{1\text{/}2}(f)} est appelée demi-dérivée de {f}. On étudie cette demi-dérivée pour certaines classes de fonctions f.
Calcul d’une intégrale
(Oral Ensam)
Existence et calcul de l’intégrale {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x-1}{\ln(x)}\text{d}x}.
Existence et calcul de l’intégrale {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x-1}{\ln(x)}\text{d}x}.