Noyau, rang, image

On trouvera ici les exercices corrigés de mathprepa.fr issus du chapitre « Compléments d’algèbre linéaire », dans la catégorie « Noyau, rang, image ».

Essouflement des noyaux

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension finie.
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

. On note

{\begin{cases}n_k=\dim\text{Ker} (u^k)\\ d_k=n_{k+1}-n_{k}\end{cases}}

Montrer que

{(d_k)}

est décroissante.

➡️

Connaissant AB, calculer BA

(Oral Centrale)
Soient

{A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})}

{B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}

.
On suppose que

{AB =\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\1&1&2\end{pmatrix}}

.
Calculer

{BA}

➡️

Opérateur Delta sur les polynômes

(Oral Centrale)
Sur

{\mathbb{R}_{n}[X]}

, avec

{n\ge1}

, on pose

{\Delta(P(X))=P(X+1)-P(X)}

Montrer que

{\Delta}

est nilpotent. En déduire :

{\forall\, P\in\mathbb{R}_{n-1}[X],\;\displaystyle\displaystyle\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j} P(X\!+\!j)=0}

➡️

Moyenne des itérés de u quand u^m = Id

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

tel que

{u^{m}=\text{Id}}

{p=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}u^k}

.
Montrer que

{p^2=p}

{\dim \text{Ker}(u-\text{Id})=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{m-1}\text{tr} u^{k}}

➡️

Polynômes dérivés successifs

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}

. À quelle condition a-t-on:

{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}

➡️

Rang d’une matrice à paramètre

Calculer le rang de

{A=}

{\begin{pmatrix}a^2 & a & 2 & 2a \\a & a^2 & 2a & 2 \\2 & 2a & a^2 & a \\2a & 2 & a & a^2\end{pmatrix}}

➡️

Petit lemme des noyaux

Soit

{f\in\mathcal{L}(E)}

{\alpha\ne\beta}

dans

{\mathbb{K}}

. Montrer que:

{\begin{array}{l}\text{Ker}(f^2-(\alpha+\beta)f+\alpha\beta\text{Id})\\[3pts]\quad=\text{Ker}(f-\alpha\text{Id})\oplus\text{Ker}(f-\beta\text{Id})\end{array}}

➡️

Endomorphismes tels que f³ = Id

Dans un espace vectoriel

E

sur

{\mathbb{K}}

, on caractérise les endomorphismes

f

tels que

{f^3=\text{Id}}

par des sommes directes.

➡️

Carré d’une matrice de rang ≤ 1

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

, avec

{\text{rg}(A)\le 1}

.
Montrer que

{A^2=\text{tr}(A)A}

➡️

Une équation matricielle

(Oral Centrale)
Soient

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

{E_{A}=\{X\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),AXA=0\}}

.
Déterminer

{\dim (E_{A})}

en fonction du rang de

{A}

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Un espace d’applications linéaires

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E,F}

deux

{\mathbb{C}}

-ev, où

{\dim(E)=n}

{\dim(F)=p}

, et

{f\in{\mathcal L}(E,F)}

. Préciser

{\dim(H)}

, où

{H=\{g\in{\mathcal L}(F,E),\;fgf=0\}}

➡️

Recherche de sous-espaces stables

(Oral Ccp)
Soit

{u\in\mathcal{L}(\R^3)}

canoniquement relié à

{\begin{pmatrix}3&1&2\\1&1&0\\-1&1&2\end{pmatrix}}

Décrire les sous-espaces stables par

{u}

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Rang et inégalités

(Oral Ensam)
Soient

{E}

{F}

deux espaces vectoriels de dimension finie et

{f,g\in{\mathcal L}(E,F)}

. Montrer que

{|\text{rg}(f)-\text{rg}(g)|\le\text{rg}(f + g)\le\text{rg}(f) + \text{rg}(g)}

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Rang d’une matrice par blocs

Soit

{M=\begin{pmatrix}A &B\\C&D\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{A\in{\text{GL}}_{p}(\mathbb{R})}

.
Montrer que :

{\text{rg}(M)=p\Leftrightarrow D=CA^{-1}B.\quad}

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Polygônes réguliers

((Oral X-Cachan)
Soit

\omega=\text{e}^{2i\pi/n}

{W_{n}= (\omega^{r(s-1)})}

dans

{{\mathcal{M}}_{n-2,n}(\mathbb{C})}

.
1. Déterminer le rang de

{W_{n}}

.
2. Donner une base de

{\text{Ker}(W_{n})}

.
3. Caractériser les polygones réguliers à

{n}

sommets de sens direct.

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Base de matrices de rang p

(Oral Centrale)
Soient

{n\in\,\mathbb{N}^*}

{p\in\{1,\ldots ,n\}}

. L’objectif de l’exercice est de montrer qu’il existe une base de

{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

formée de matrices de rang

{p}

➡️