Mp/Pc/Psi
Exercices corrigés pour les classes de Math Spé Mp Pc Psi, posés aux concours : Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.

Existence d’un vecteur cyclique

(Oral Centrale 2018)
Soit

{E}

un ev de dimension

{n\geq 1}

. Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

.
On dit que

{x\in E}

est cyclique si

{(x,u(x),\ldots,u^{n-1}(x))}

est une base de

{E}

.
Dans cet exercice, on étudie l’existence d’un vecteur cyclique.

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Polynômes orthogonaux

(Oral Centrale)
On étudie une famille de polynômes orthogonaux pour

{(f\mid g)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)\varphi(t)\,\text{d}t}

On montre qu’ils sont scindés simples sur

{\mathbb{R}}

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Famille obtusangle

(Oral Centrale)
On se donne

{(e_{1},\ldots,e_{p})}

dans

{\mathbb{R}^{n}}

euclidien, tels que

{(e_{i}\mid e_{j})\lt 0}

pour

{i\neq j}

.
Montrer que

{(e_{1},\ldots,e_{p-1})}

est libre. Conséquence?

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Un endomorphisme matriciel

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

, non nulle.
Éléments propres, trace et déterminant de

{\varphi:M\to M+\text{tr}(AM)A}

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Matrices avec vecteur propre donné

(Oral Centrale 2018)
Soit

{x\in\mathbb{R}^{n}}

non nul, et

{E_{x}}

l’ensemble des matrices de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

admettant

{x}

comme vecteur propre.
Montrer que

{E_{x}}

est un espace vectoriel, préciser sa dimension.

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Un tirage géométrique avec remise

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{N}

une v.a.r telle que

{N+1\leadsto\mathcal{G}(p)}

.
Dans urne contenant une boule bleue et une boule verte, on effectue

{N}

tirages avec remise.
Trouver la loi du nombre

{X}

de boules vertes tirées.

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Distance entre deux lois géométriques

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{X,Y}

deux v.a.r. indépendantes de loi

{\mathcal{G}(p)}

.
Loi et espérance de

{Z=|X-Y|}

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Condition de nullité d’une série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{f(z)=\displaystyle\sum a_{n}z^{n}}

de rayon

{R\ne0}

.
On suppose qu’il existe une suite

{(z_{p})}

{\mathbb{C}^*}

tendant vers

{0}

, telle que

{f(z_{p})=0 }

pour tout

{p}

.
Montrer que

{f}

est nulle.

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Étude de série de fonctions

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer le domaine de

{f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac{x^{n}}{1-x^{n}}}

.
Étudier la continuité et le caractère

{\mathcal{C}^{1}}

{f}

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Calcul d’une intégrale généralisée

(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence et calcul de

{I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}x}{\,\text{sh} (\sqrt{x})}}

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Point fixe d’une fonction contractante

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A}

un fermé de

{E}

(evn de dimension finie).
Soit

{f:A\rightarrow A}

{k}

-lipschitzienne avec

{0\le k\lt 1}

.
Montrer que

{f}

possède un unique point fixe sur

{E}

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Matrices de M_n(ℤ) telles que M³+M+I=0

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{n\geq 1}

tels qu’il existe

{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}),\;M^{3}+M+I_{n}=0_{n}}

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Une diagonalisation très particulière

(Oral Mines-Ponts 2018)
Diagonaliser la matrice

{A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 2 &1\end{pmatrix}}

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Racine n-ième matricielle

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})}

telle que

{A^{2}\neq 0}

.
Montrer que :

{\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;\exists\,B\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}),\;A=B^{n}}

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Si A³ = A+I_n, alors det(A)>0

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que

{A^{3}=A+I_{n}}

. Montrer que

{\det(A)>0}

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Matrices annulant un polynôme donné

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{P\in\mathbb{R}[X]}

non constant et

{n\in\mathbb{N}^{*}}

.
Existe-t-il toujours

{M\!\in\!\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que

{P(M)\!=\!0}

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Moyenne des itérés de u quand u^m = Id

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

tel que

{u^{m}=\text{Id}}

{p=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}u^k}

.
Montrer que

{p^2=p}

{\dim \text{Ker}(u-\text{Id})=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{m-1}\text{tr}(u^{k})}

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Polynômes dérivés successifs

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}

. À quelle condition a-t-on:

{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}

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Déterminant et trace de la transposition

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminant et trace de

{u\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))}

défini par

{u(M)=M^{T}}

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Trace et formes linéaires

(Oral Mines-Ponts 2018)
Caractériser les formes linéaires

{\varphi}

sur

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

telles que

{\varphi (MN)=\varphi (NM)}

➡️