Séries numériques et intégrales

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr, pour le chapitre « Séries numériques », dans la catégorie « Séries numériques et intégrales ».

Intégrales et séries

(Oral Ensam)
On pose

{a_{n}=-\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{n}\ln t}{t+1}\,\text{d}t}

Montrer que

{(a_{n})}

est définie, et déterminer sa limite.
Déterminer un équivalent de

{a_{n}}

.
Calculer

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}}

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}

➡️

Encore une série d’intégrales

(Oral Ccp)
On pose

{u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n}\sin (\pi x)\,\text{d}x}

.
Étudier la convergence de

{\displaystyle\sum_{n\ge0} u_{n}}

.
Montrer que :

{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi }\dfrac{\sin t}{t}dt}

➡️

Somme d’une série d’intégrales

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{(p,q)\in\mathbb{N}^{2}}

, calculer

{I_{p,q}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{p}(1-t)^{q}\,\text{d}t}

.
Déterminer la nature et la somme de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}I_{n,n}}

➡️

Série alternée d’intégrales

(Oral CCInp)
On note la fonction

{\Gamma :x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,\text{d}t}

.
On pose

{u_{n}=\displaystyle\int_{n}^{n+1}\!\!\!\ln\Gamma(x)\,\text{d}x}

.
Préciser la nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n}}{u_{n}}}

➡️

Une relation série-intégrale

(Oral Mines-Ponts)
On admet :

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!e^{-x^{2}}dx=\dfrac{\sqrt{\pi }}{2}}

. Montrer que :

{I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!\dfrac{\sqrt{x}}{1+e^{x}}\text{d}x=\dfrac{(2-\sqrt{2})\sqrt\pi}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n\sqrt{n}}}

➡️

Intégrale d’une fonction discrète

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a_{n})}

une suite strictement décroissante de limite

{0}

.
Pour

{x>0}

, soit

{N(x)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\{n\in \mathbb{N};\;a_{n}\geq x\}}

.
Montrer que

{N}

est intégrable sur

{]0,+\infty \lbrack }

si
et seulement si la série

{\displaystyle\sum a_{n}}

converge.
Montrer qu’alors

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!N(x)\,\text{d}x=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}.}

➡️

Divergences en chaîne

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f(x)=\dfrac{\sin\ln(x)}{x}}

. Montrer que

{\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)\,\text{d}x}

diverge.
En déduire que

{n\mapsto\displaystyle\int_{1}^{n}f(x)\,\text{d}x}

{\displaystyle\sum_{n\ge2}f(n)}

divergent.

➡️

Série d’intégrales

(Oral CCInp)
On pose

{a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\Big(\dfrac{1+t^{2}}{2}\Big)^{n}dt}

.
Montrer :

{\displaystyle\sum (-1)^{n}a_{n}}

converge et

{\displaystyle\sum a_{n}}

diverge.
Calculer la somme

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}}

➡️

Série des f(n) avec hypothèse sur f’

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^{+\ast},\mathbb{C})}

, intégrable sur

{[1,+\infty]}

.
Comparer

{\displaystyle\sum f(n)}

{n\mapsto \displaystyle\int_{1}^{n}f(t)\,\text{d}t}

converge.
Application : nature de

{\displaystyle\sum \dfrac{\cos \sqrt{n}}{n^{\alpha }}}

quand

{\alpha >\dfrac{1}{2}}

➡️

Une série alternée d’intégrales

(Oral CCInp)
Pour tout

{n\in\mathbb{N}}

, on pose

{u_{n}=(-1)^{n}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}t\,\text{d}t}

Nature et somme de la série de terme général

{u_n}

?
Nature de la série

{\displaystyle\sum_{n\ge0}|u_n|}

➡️

Une série d’intégrales

(Oral CCInp)
On définit, pour

{n\in \mathbb{N}}

{u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}\,{\rm d}x}{1+x+\cdots +x^{n}}}

Déterminer la limite de

{u_{n}}

lorsque

{n}

{+\infty }

.
Déterminer la nature de

{\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}}

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Séries à convergence rapide

(Oral Centrale 2018)
Justifier l’existence de :

{S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{16^{k}(8k+n)}\;\text{et}\;I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\text{d}x}{1-i-x}}

Exprimer

{I}

en fonction de

{S_{1},S_{2},\ldots,S_{8}}

. Calculer directement

{I}

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Étude de la série des 1/n^z

(Oral Centrale 2018)
Déterminer une CNS sur

{z\in\mathbb{C}}

pour que

{\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^{z}}}

converge.

➡️

Intégrale et série numérique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln (1-t^{2})\ln (t)}{t^{2}}\,\text{d}t=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(2n-1)^{2}}}

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Longueur approchée d’une ellipse

(Oral Centrale)
Approximation de l’intégrale donnant la longueur d’une ellipse.

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Une intégrale qui résiste

(Oral Centrale)
Calcul de l’intégrale

{J=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln^2(1-x)}{x}\,\text{d}x}

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Intégrales de Wallis hyperboliques

(Oral Centrale)
On étudie

{I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\,\text{sh}^n(t)\,\text{d}t}

où

\text{sh}(\alpha)=1

(calcul approché avec Python, relation de récurrence, limite, équivalent, séries…)

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La somme des 1/k^2

(Oral Mines-Ponts)
Une méthode classique, avec du calcul intégral, pour obtenir la valeur de

{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}

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Intégrale et séries numériques

(Oral Ccp)
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t\ln^{2}(t)}{(1-t)^{2}}\text{d}t=2\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}

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Intégrale généralisée et série

(Oral Mines)
Montrer que

{I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln(1-x)}{x}\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}}

➡️