Mathprepa Exercices corrigés

Cette page donne un accès à un millier d’articles du site Mathprepa (exercices corrigés tirés des oraux de X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)

Moyenne des itérées d’une isométrie

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans

{\mathbb{R}^{n}}

euclidien, soit

{a\in\text{O}(\mathbb{R}^{n})}

.
Montrer que

{\mathbb{R}^{n}=\text{Ker}\,(a-\text{Id})\oplus \text{Im}\,(a-\text{Id})}

.
Étudier la suite

{N\mapsto b_{N}=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{N-1}a^{k}}

➡️

det(u+v) ≥ det(u) + det(v)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E}

{\mathbb{R}}

-espace euclidien, et

{u,v}

deux endomorphismes symétriques de

{E}

tels que :

{\forall\,x\in E,(u(x)\mid x)\geq 0\;\text{et}\;(v(x)\mid x)\geq 0}

Montrer que

{\det (u+v)\geq \det u+\det v}

.
Étudier le cas d’égalité.

➡️

Exponentielle de matrice

(Oral Mines-Ponts 2018)
On étudie l’application

{A\mapsto\exp(A)}

dans

{\mathcal{M}_2(\mathbb{C})}

➡️

Une condition d’antisymétrie

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

est antisymétrique si et seulement si :

{(\star)\ \forall\, P\in O(n),\;P^{-1}AP}

est à diagonale nulle.

➡️

Projecteur et transposition

(Oral Mines-Ponts 2018)
Caractériser les matrices

{M}

de projecteurs telles que

{M^{T}M=M\,M^{T}}

➡️

Série entière à coefficient intégrale

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{a_{n}=\displaystyle\int_{n}^{+\infty}\dfrac{\mathrm{th}t}{t^{2}}\,\text{d}t}

. Rayon

{R}

{\displaystyle\sum a_{n}x^{n}}

puis convergence en

{\pm R}

➡️

Duo de séries entières

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(u_{n})}

une suite bornée, et

{S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k}

.
Rayons de

{u(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}\;\text{et}\;S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{S_{n}}{n!}x^{n}}

.
Relation entre

{u'}

{S'}

{S}

.
Calcul de

{\displaystyle\lim_{+\infty}S(x)e^{-x}}

quand

{u_{n}=(-1)^{n}}

➡️

Intégrale et série numérique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln (1-t^{2})\ln (t)}{t^{2}}\,\text{d}t=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(2n-1)^{2}}}

➡️

Probabilité et Cauchy-Schwarz

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{X}

une v.a.r positive de variance non nulle.
Montrer que, pour tout

{\lambda \in\,]0,1[}

{\mathbb{P}(X\geq \lambda E(X))\geq (1-\lambda )^{2}\dfrac{E(X)^{2}}{E(X^{2})}}

➡️

Probabilité d’être un projecteur

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(X_{1},\ldots,X_{n})}

des v.a.r. indépendantes, de loi

{\mathcal{B}(p)}

.
Donner la loi du rang et de la trace de

{M=(X_{i}X_{j})_{1\leq i,j\leq n}}

.
Quelle est la probabilité que

{M}

représente un projecteur ?

➡️

Un événement négligeable

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(X_{n})_{n}}

des v.a.r indépendantes de loi

{\mathcal{B}(p)}

.
Soit

{A_{n}=(X_{n}=\ldots=X_{2n-1}=1)}

.
Soit

{I}

l’événement « une infinité de

{A_{n}}

sont réalisés ».
Montrer que

{\mathbb{P}(I)=0}

➡️

Convergence en probabilité

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans cet exercice, on étudie la notion de convergence en probabilité pour une suite de variables aléatories réelles.

➡️

Suite de solutions d’une équa-diff

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E_{n}:(n+1)y''-(2n+1)y'+ny=0}

.
Soit

{y_{n}}

la solution telle que

{y_{n}(0)=0}

{y_{n}'(0)=1}

.
Montrer que la suite

{(y_n)}

converge uniformément sur tout segment de

{\mathbb{R}^+}

➡️

Probabilité de diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{Y\!:\Omega\to\mathbb{Z}}

avec

{\begin{cases}\mathbb{P}(Y\!=\!k)\!=\!\mathbb{P}(Y\!=\!-k)\\|Y|\leadsto\mathcal{P}(\lambda)\end{cases}}

.
Donner la loi du rang

{R}

{A=\begin{pmatrix}0 & Y & 1 \\ Y & 0 & 1 \\ Y & 1 & 0\end{pmatrix}}

Probabilité que

{A}

soit diagonalisable?

➡️

Différence de lois binomiales

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{X,Y}

deux v.a.r. indépendantes suivant

{\mathcal{B}(n,\frac{1}{2})}

.
Donner la loi, l’espérance et la variance de

{Z\!=\!X\!-\!Y}

.
Calculer

{\text{Cov}(X,Z)}

et leur coefficient de corrélation.

➡️

Autour du lemme de Gronwall

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{q\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R}^{+*})}

, croissante.
Soit

{f}

une solution de

{f''+qf=0}

.
Montrer que

{f}

est bornée.

➡️

L’intégrale de Dirichlet

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans cet exercice, on calcule

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\,\text{d}t}

➡️

Intégrale généralisée en deux temps

(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine et continuité de

{f(x)=\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\text{d}t}

.
Convergence et calcul de

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(x)\text{d}x}

➡️

Équation matricielle M M^T M = I_n

(Oral Mines-Ponts 2018)
Résoudre

{M\,M^{T}M=I_{n}}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Endomorphisme de polynômes

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])}

défini par

{u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}

.
Résoudre

{nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y}

sur

{]-1,1[}

. Diagonaliser

{u}

➡️