Mathprepa Exercices corrigés

Cette page donne un accès à un millier d’articles du site Mathprepa (exercices corrigés tirés des oraux de X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)

Encore une intégrale à paramètre

(Oral Centrale)
On pose

{I(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^x \ln(t)}{t-1}\,\text{d}t}

Déterminer le dommaine ${D}$ de la fonction ${I}$ .
Montrer que ${I}$ est ${\mathcal C^1}$ sur ${D}$ .
Calculer pour ${I(x+1)-I(x)}$ pour ${x\in D}$ .
Déterminer la limite de ${I}$ en ${+\infty}$ .
Donner un équivalent de ${I}$ en ${-1}$ et en ${+\infty}$

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Intégrale de (f(bx)-f(ax))/x sur R+

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f}

une fonction continue et intégrable sur

{\mathbb{R}^{+}}

.
Soient

{a,b\in \mathbb{R}}

tels que

{0\lt a\lt b}

.
Existence et valeur de

{J\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\dfrac{f(bx)-f(ax)}{x}dx}

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Logarithme de la fonction Gamma

(Oral Mines-Ponts)
Donner le domaine de

{\Gamma :x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!t^{x-1}e^{-t}\text{d}t}

.
Équivalent de

{f(x)=\displaystyle\int_{x}^{x+1}\!\!\!\ln \Gamma (t)\,\text{d}t}

{+\infty}

.
En déduire un équivalent de

{\ln \Gamma(x)}

{+\infty }

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Primitives et limites comparées

(Mines-Ponts)
Soit

{f\in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}

. Pour

{x\in \mathbb{R}^{+}}

, on pose :

{F(x)=\!\displaystyle\int_{0}^{x}\!\!f(t)\text{d}t\;\text{et}\;g(x)\!=\!f(x)\!+\!F(x)}

On suppose que

{f}

a une limite finie en

{+\infty }

.
En est-il de même de

{F}

?
On suppose que

{F}

a une limite finie en

{+\infty }

.
En est-il de même de

{f}

?
On suppose que

{g}

a une limite finie en

{+\infty }

.
Déterminer la limite de

{f}

{+\infty }

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Intégrale à paramètre et série entière

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\text{e}^{-t\sin x}\,\text{d}x}

est solution de

{(E) : ty^{\prime \prime}+y^{\prime }-ty+1=0}

Solutions de

{(E)}

développables en série entière ?
En déduire

{\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\sin^{n}(x)\,\text{d}x}

pour tout

{n\in \mathbb{N}}

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Série de fonctions ou série entière ?

(Oral Mines-Ponts)
Domaine et régularité de

{f:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2}+x^{2}}}

Montrer que

{f}

est développable en série entière.
Quel est le rayon de convergence?

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Cayley-Hamilton et matrice compagnon

(Oral Centrale)
Dans cet exercice, on observe directement que la matrice-compagnon d’un polynôme P est annulée par P (c’est un cas particulier du théorème de Cayley-Hamilton).

➡️

Ocaml. Fonctions intégrées sur les listes (3/3)

On se propose de réécrire ici les fonctions intégrées de OCaml sur les listes.On leur donnera le nom « my_func » si « func » est le nom de la fonction Caml à réécrire.On écrira systématiquement des filtrages par cas.

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Ocaml. Fonctions intégrées sur les listes (2/3)

On se propose de réécrire ici les fonctions intégrées de OCaml sur les listes.
On leur donnera le nom « my_func » si « func » est le nom de la fonction Caml à réécrire.
On écrira systématiquement des filtrages par cas.

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Ocaml. Fonctions intégrées sur les listes (1/3)

On se propose de réécrire ici les fonctions intégrées de OCaml sur les listes.
On leur donnera le nom « my_func » si « func » est le nom de la fonction Caml à réécrire.
On écrira systématiquement des filtrages par cas.

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