Intégrales à paramètre

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr dans la catégorie « Intégrales à paramètre ».

Développement d’intégrale à paramètre

(Oral Centrale) On étudie

{F(t)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{f(x)}{1+tf(x)}\text{d}x}

, où

{f}

est continue positive intégrable sur

{\mathbb{R}^+}

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Intégrale de exp(-x^4)cos(xt)

(Oral Centrale) On étudie l’intégrale à paramètre

{f(t)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\!\!\text{e}^{-x^4}\cos(xt)\,\text{d}x}

➡️

Intégrale de arctan(x tan(t))

(Oral Centrale) On étudie l’intégrale à paramètre

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\!\!\!\arctan(x \tan(t))\text{d}t}

➡️

Intégrale trigonométrique à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
Un exercice très complet, pour calculer

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos (xt)}{1+t^{2}}\mathrm{d}t}

➡️

Intégrale et équation différentielle

(Oral Mines-Ponts)
On admet que

{\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t=\sqrt \pi}

.
On pose

{I(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{t x-t^{2}}\,\text{d}t}

.
Montrer que

{2I''(x)-x I'(x)-I(x)=0}

.
En déduire

{I(x)}

.
Retrouver ce résultat par une méthode directe.

➡️

Intégrale à paramètre et série

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f(x,t)=\dfrac{\sin (x t)}{\text{e}^{t}-1}}

{I(x)\!\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!f(x,t)\mathrm{d}t}

Montrer que

{I}

est

{\mathcal{C}^{1}}

sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer que

{I(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{k^{2}+x^{2}}}

.
En déduire

{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}I(x)}

➡️

Calcul d’une intégrale complexe

(Oral Mines-Ponts)
Calculer

{T(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{i t x}-1}{t} e^{-t}\,\text{d}t}

➡️

Intégrale de t^(t^x)

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f_x(t)=t^{t^x}=\text{e}^{t^x\ln t}}

{F(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f_x(t) \,\text{d}t}

.
Montrer que

{F}

est croissante et continue sur

{\mathbb{R}}

,
Écrire

{F(x)}

comme somme de série si

{x>0}

.
Étudier la limite de

{F}

{+\infty}

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Intégrabilité d’une intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{a>1}

. On pose

{F(x)=\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \!\!\!\dfrac{\text{d}t}{\left(x^{2}+t^{2}\right)^{a}}}

.
Montrer que

{F}

est

{\mathcal{C}^{1}}

sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer qu’elle vérifie une équation différentielle.
Montrer que

{F}

est intégrable sur

{\mathbb{R}}

➡️

Équivalents d’intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{F\colon x \rightarrow \dfrac{1}{x} \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{1-e^{-t x}}{1+t^{2}} \,\text{d}t}

.
Montrer que

{F}

est

{\mathcal{C}^{2}}

sur

{\mathbb{R}^{+*}}

.
Trouver un équivalent de

{F}

{+\infty}

, et en

{0}

➡️

Calcul d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\! \dfrac{\text{d}t}{\left(1+t^{2}\right)\left(1+t^{x}\right)}}

.
Montrer que

{F}

est définie sur

{\mathbb{R}^{+}}

.
Calculer

{F(0)}

{\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)}

.
Calculer

{F(x)}

pour tout

{x\gt0}

➡️

Une autre intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{x>1}

, on pose :

{F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-x t} \dfrac{\,\text{sh} t}{t} \mathrm{d} t}

.
Vérifier que

{F}

est définie.
Préciser

{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)}

. Calculer

{F(x)}

➡️

Une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

, et

{g(x)=\!\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f(x t)\ln(t)\mathrm{d}t}

.
Monter que

{g\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

. Préciser

{g(0)}

{g'(0)}

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Fonction Ck à dérivées nulles en 0

(Oral Centrale)
Soit

{f\in\mathcal{C}^3(\mathbb{R})}

avec

{f(0)=f^{\prime }(0)=0}

.
Montrer :

{\forall\,x\ne0,\;f(x)=x\displaystyle\int_{0}^{1}f^{\prime }(ux)du.}

Montrer :

{\exists\,g\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}

.
Montrer :

{\exists\,h\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}

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Intégrale de exp(i x^2) de 0 à +∞

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\dfrac{e^{-x^{2}(t^{2}-i)}}{t^{2}-i}dt}

.
On rappelle que :

{\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\!\!e^{-t^2}\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}}

Trouver le domaine de définition de

{f}

.
Montrer que la restriction de

{f}

{\mathbb{R}^+}

est

{\mathcal{C}^{1}}

.
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!e^{ix^{2}}dx}

existe et la calculer.

➡️

Une transformation de Laplace

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in \mathcal{C}^{\infty }(\mathbb{R},\mathbb{C})}

nulle pour

{|x|\gt A}

.
Montrer que

{F(x)=\displaystyle\int_{\infty }^{+\infty }\!\!\!\!f(t)e^{-itx}dt}

est

{C^{\infty }}

sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer que :

{\forall\, n\in \mathbb{N},\;\exists\, C_{n}\in \mathbb{R}}

{\forall\, x>0}

{\ |F(x)|\leq \dfrac{C_{n}}{x^{n}}}

➡️

Encore une intégrale à paramètre

(Oral Centrale)
On pose

{I(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^x \ln(t)}{t-1}\,\text{d}t}

Déterminer le dommaine ${D}$ de la fonction ${I}$ .
Montrer que ${I}$ est ${\mathcal C^1}$ sur ${D}$ .
Calculer pour ${I(x+1)-I(x)}$ pour ${x\in D}$ .
Déterminer la limite de ${I}$ en ${+\infty}$ .
Donner un équivalent de ${I}$ en ${-1}$ et en ${+\infty}$

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Intégrale à paramètre et série entière

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\text{e}^{-t\sin x}\,\text{d}x}

est solution de

{(E) : ty^{\prime \prime}+y^{\prime }-ty+1=0}

Solutions de

{(E)}

développables en série entière ?
En déduire

{\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\sin^{n}(x)\,\text{d}x}

pour tout

{n\in \mathbb{N}}

➡️

Continuité d’intégrales à paramètre

Deux exercices sur le thème « continuité des intégrales à paramètre ».

➡️

Dérivation d’intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine de

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{t}{t^{2}+x^{2}}\arctan \dfrac{1}{t}\text{d}t}

.
Montrer que

{f}

est

{\mathcal{C}^{1}}

. Calculer

{f'}

puis

{f}

➡️