Une intégrale généralisée (2/2)
Existence et calcul de {g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-t}-\text{e}^{-xt}}{t}\text{d}t}.
Intégration sur un intervalle quelconque
Une intégrale généralisée (1/2)
Existence et calcul de {I=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x}}{x}\,\text{d}x}.
Une intégrale « nulle »
Existence puis calcul de {\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\,\text{d}x}.
Fonctions de carré intégrable
Soit {f} dans {\mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}. On suppose que {f} et {f''} sont de carré intégrable sur {\mathbb{R}}.
Montrer que {f'} est de carré intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
Montrer que {f'} est de carré intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
Intégrale de Lejeune-Dirichlet
Étudier la fonction {g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-xt}\dfrac{1-\cos(t)}{t^{2}}\,\text{d}t}.
En déduire {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}\,\text{d}t=\dfrac{\pi}{2}}.
En déduire {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}\,\text{d}t=\dfrac{\pi}{2}}.
Intégrale de Gauss
Dérivabilité de {g(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\text{e}^{-(1+t^{2})x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t}.
En déduire {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\text{e}^{-u^{2}}\,\text{d}u=\sqrt{\pi}}.
En déduire {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\text{e}^{-u^{2}}\,\text{d}u=\sqrt{\pi}}.
Intégrale généralisée « complexe »
Existence et calcul de l’intégrale {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{\text{e}^{t}-i}}.
Intégrale d’intégrale
(Oral Mines-Ponts)
Existence et calcul de {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl(\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t}\text{d}t\biggr)\text{d}x}.
Existence et calcul de {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl(\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t}\text{d}t\biggr)\text{d}x}.
Limite d’une intégrale à paramètre
(Ooral Mines-Ponts)
Pour {x>0}, on pose {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\ln (t)\ln (1-t^{x})\,\text{d}t}.
Montrer que {f} est bien définie et l’écrire comme somme d’une série de fonctions.
Déterminer la limite de {f} en {0}.
Pour {x>0}, on pose {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\ln (t)\ln (1-t^{x})\,\text{d}t}.
Montrer que {f} est bien définie et l’écrire comme somme d’une série de fonctions.
Déterminer la limite de {f} en {0}.
Limites d’intégrales généralisées
(Oral Ccp)
Existence de {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\arctan(t)}{t^{3/2}+t^{n}}\,\text{d}t}.
Calcul de {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}J_n}.
Existence de {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\arctan(t)}{t^{3/2}+t^{n}}\,\text{d}t}.
Calcul de {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}J_n}.
Équivalents et intégrales
(Oral Mines-Ponts)
Soit {\delta\in\,]\,0,1[}. Donner un équivalent de {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t} en {+\infty}.
Soit {\delta\in\,]\,0,1[}. Donner un équivalent de {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t} en {+\infty}.
Intégrale et séries numériques
(Oral Ccp)
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t\ln^{2}(t)}{(1-t)^{2}}\text{d}t=2\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t\ln^{2}(t)}{(1-t)^{2}}\text{d}t=2\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}
Intégrale généralisée et série
(Oral Mines)
Montrer que {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln(1-x)}{x}\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}}.
Montrer que {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln(1-x)}{x}\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}}.
Interversion série-intégrale
(Oral Ccp et Centrale)
On suppose {\displaystyle\sum\limits_{n\ge0}|a_{n}|\lt\infty}. Soit {f(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}t^{n}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!f(t)\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.
On suppose {\displaystyle\sum\limits_{n\ge0}|a_{n}|\lt\infty}. Soit {f(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}t^{n}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!f(t)\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.
Minimum d’une intégrale à paramètre
(Oral X-Cachan Psi)
On pose {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{t^{x}(1+t)}}.
Étudier {f} sur son domaine, et trouver son minimum.
On pose {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{t^{x}(1+t)}}.
Étudier {f} sur son domaine, et trouver son minimum.
Demi-dérivée d’une fonction continue
(Oral X-Cachan)
Si {f \in{\mathcal C}^{0}(\mathbb{R}^{+}}, soit {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)(x)\!=\!\displaystyle\dfrac{1}{\sqrt\pi}\!\!\int_{0}^{x}\!\!\dfrac{f(t)\,\text{d}t}{\sqrt{x-t}}}.
La dérivée de {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)}, notée {\mathcal{D}_{1\text{/}2}(f)} est appelée demi-dérivée de {f}. On étudie cette demi-dérivée pour certaines classes de fonctions f.
Si {f \in{\mathcal C}^{0}(\mathbb{R}^{+}}, soit {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)(x)\!=\!\displaystyle\dfrac{1}{\sqrt\pi}\!\!\int_{0}^{x}\!\!\dfrac{f(t)\,\text{d}t}{\sqrt{x-t}}}.
La dérivée de {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)}, notée {\mathcal{D}_{1\text{/}2}(f)} est appelée demi-dérivée de {f}. On étudie cette demi-dérivée pour certaines classes de fonctions f.
Suite d’intégrales à paramètre
(Oral X-Cachan)
Soit {\varphi\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, continue et bornée. On pose : {\varphi_{n}(x) = \dfrac{n}{\sqrt\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(y)\,\text{e}^{-n^{2}(x-y)^{2}}\,\text{d}y}.
On montre que les {\varphi_{n}} sont {{\mathcal C}^{1}} et CVS vers {\varphi}.
Soit {\varphi\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, continue et bornée. On pose : {\varphi_{n}(x) = \dfrac{n}{\sqrt\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(y)\,\text{e}^{-n^{2}(x-y)^{2}}\,\text{d}y}.
On montre que les {\varphi_{n}} sont {{\mathcal C}^{1}} et CVS vers {\varphi}.
Itérés d’un opérateur à noyau
(Oral X-Cachan)
Soit {K\in {\mathcal C}^{0}([a,b]^{2},\mathbb{C})} avec {K(x,y) = 0} si {x\le y}.
À {u\in{\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C})}, on associe {v=T_{K}(u)} définie par : {\forall\, x\in[a,b],\;v(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}K(x,y)\,u(y)\text{d}y}.
On étudie les itérés de T_K.
Soit {K\in {\mathcal C}^{0}([a,b]^{2},\mathbb{C})} avec {K(x,y) = 0} si {x\le y}.
À {u\in{\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C})}, on associe {v=T_{K}(u)} définie par : {\forall\, x\in[a,b],\;v(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}K(x,y)\,u(y)\text{d}y}.
On étudie les itérés de T_K.
Une intégrale à paramètre
(Oral Centrale)
Soit {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-t^{2}x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t\;}.
On étudie son domaine \mathcal{D}, sa dérivabilité, et le comportement aux bornes.
Soit {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-t^{2}x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t\;}.
On étudie son domaine \mathcal{D}, sa dérivabilité, et le comportement aux bornes.
Interversion série-intégrale
(Oral Centrale)
Soit {(u_n)} une suite croissante de {\mathbb{R}^{+*}}, divergente.
Montrer que : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^ne^{-u_nx}\biggr)\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{u_n}.\quad}
Soit {(u_n)} une suite croissante de {\mathbb{R}^{+*}}, divergente.
Montrer que : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^ne^{-u_nx}\biggr)\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{u_n}.\quad}