Une intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts 2018)
Calculer {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1-t}{\ln (t)}t^{x}\,\text{d}t}.
Calculer {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1-t}{\ln (t)}t^{x}\,\text{d}t}.
Intégration sur un intervalle quelconque
DSE d’une intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts 2018)
Préciser le domaine de {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{t\,\text{d}t}{x+e^{t}}}.
Montrer que {f} est développable en série entière
Préciser le domaine de {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{t\,\text{d}t}{x+e^{t}}}.
Montrer que {f} est développable en série entière
Étude d’une série de fonctions
(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine, continuité, dérivabilité de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{n(1+nx^{2})}}.
Donner un équivalent de {f} en {0}.
Domaine, continuité, dérivabilité de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{n(1+nx^{2})}}.
Donner un équivalent de {f} en {0}.
Étude de int(arctan(x tan(t)), t=0..π/2)
(Oral Centrale Mp)
Étude de l’intégrale à paramètre {f(x)=\displaystyle{\int_0^{\pi/2}\!\!\!\arctan(x \tan (t))\,\text{d}t}}
Étude de l’intégrale à paramètre {f(x)=\displaystyle{\int_0^{\pi/2}\!\!\!\arctan(x \tan (t))\,\text{d}t}}
Intégrabilité de 1/(1+et |sin t|) sur ℝ+
J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (3/3)
(Oral Centrale Mp)
Étude de {J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta} (3/3)
Étude de {J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta} (3/3)
J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (2/3)
(Oral Centrale Mp)
{J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta} (2/3)
{J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta} (2/3)
J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (1/3)
(Oral Centrale Mp)
Étude de {J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta} (1/3)
Étude de {J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta} (1/3)
Une intégrale qui résiste
(Oral Centrale)
Calcul de l’intégrale {J=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln^2(1-x)}{x}\,\text{d}x}.
Calcul de l’intégrale {J=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln^2(1-x)}{x}\,\text{d}x}.
Une série numérique à paramètre
(Oral Centrale)
Étude de {S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}.
Étude de {S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}.
Équivalents d’intégrales
Équivalents en {+\infty} de {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{\cos(t)}{1+n^{2}t^{2}}\text{d}t} et {K_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{\text{e}^{-nt}}{1+t^{2}}\text{d}t}.
Théorème de convergence dominée
Six exercices d’application du théorème de convergence dominée.
La fonction Gamma d’Euler
On introduit la fonction {\Gamma(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{x-1}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}.
On étudie ses propriétés (relation fonctionnelle, caractère \mathcal{C}^{\infty}).
On étudie ses propriétés (relation fonctionnelle, caractère \mathcal{C}^{\infty}).
Petites intégrales généralisées (2/2)
Cinq calculs d’intégrales généralisées (2/2).
Petites intégrales généralisées (1/2)
Cinq calculs d’intégrales généralisées (1/2).
Intégrales de Wallis et Futuna
On étudie les intégrales {F_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{\text{d}t}{\,\text{ch}^{n}(t)}}.
Intégrales généralisées
Prouver l’égalité {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(t)}{1-t^{2}}\,\text{d}t=-\dfrac{\pi^{2}}{8}}.
Prouver l’égalité {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{t\,\text{d}t}{\text{e}^{t}-1}=\dfrac{\pi^{2}}{6}}.
Une jolie égalité intégrale/série
Prouver l’égalité {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\,\text{d}x}{\,x^{x}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\,\dfrac{1}{n^{n}}}.
Encore une intégrale à paramètre
Pour tout réel {x}, montrer que : {\forall\,x\in\mathbb{R},\;\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(xt)}{t}\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\arctan(x)}
Calcul d’une intégrale à paramètre
Montrer : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-t^{2}}\cos(xt)\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\text{e}^{-x^{2}/4}}