Espaces euclidiens

On trouvera ici les exercices corrigés du site www.mathprepa.fr pour le chapitre de deuxième année « Espaces euclidiens ».

Racine carrée de matrice symétrique

(Oral Centrale 2018)
Soit

{M\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}

{\{\mu_{1},\ldots,\mu_{p}\}}

ses valeurs propres distinctes. Montrer :

{\exists\,P\in\mathbb{R}_{p-1}[X],\;P(M)^{2}=M}

➡️

Vecteurs obtusangles

(Oral Centrale 2018)
Dans

{\mathbb{R}^n}

, soit

{v_{1}\ldots,v_{n+1}}

avec

{(v_{i}\mid v_{j})=-1}

{i\neq j}

.
Soit

{w_{1},\ldots,w_{n+1}}

tels que

{(v_{i}\mid v_{j})=(w_{i}\mid w_{j})}

pour tous

{i,j}

. Montrer qu’il existe un unique

{u\in O(\mathbb{R^n})}

tel que

{u(v_{i})=w_{i}}

pour tout

{i}

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Ker(u+v) et Im(u+v) pour u,v dans S⁺(E)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E}

euclidien et

{u\in S^{+}(E)}

l’ensemble des endomorphismes symétriques à spectre inclus dans

{\mathbb{R}^{+}}

Soit

{u}

{v\in S^{+}(E)}

. Montrer que

{\text{Ker}(u+v)=\text{Ker}(u)\cap\text{Ker}(v)}

{\text{Im}\,(u+v)=\text{Im}\,(u)+\text{Im}\,(v)}

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Moyenne des itérées d’une isométrie

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans

{\mathbb{R}^{n}}

euclidien, soit

{a\in\text{O}(\mathbb{R}^{n})}

.
Montrer que

{\mathbb{R}^{n}=\text{Ker}\,(a-\text{Id})\oplus \text{Im}\,(a-\text{Id})}

.
Étudier la suite

{N\mapsto b_{N}=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{N-1}a^{k}}

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det(u+v) ≥ det(u) + det(v)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E}

{\mathbb{R}}

-espace euclidien, et

{u,v}

deux endomorphismes symétriques de

{E}

tels que :

{\forall\,x\in E,(u(x)\mid x)\geq 0\;\text{et}\;(v(x)\mid x)\geq 0}

Montrer que

{\det (u+v)\geq \det u+\det v}

.
Étudier le cas d’égalité.

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Une condition d’antisymétrie

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

est antisymétrique si et seulement si :

{(\star)\ \forall\, P\in O(n),\;P^{-1}AP}

est à diagonale nulle.

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Équation matricielle M M^T M = I_n

(Oral Mines-Ponts 2018)
Résoudre

{M\,M^{T}M=I_{n}}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

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Orthogonale ⇆ antisymétrique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

antisymétrique.
Montrer que

{M=(I_{n}+A)^{-1}(I_{n}-A)}

est orthogonale positive.
Montrer que

{A=(I_{n}+M)^{-1}(I_{n}-M)}

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Tr(uv), avec u,v symétriques positifs

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{u,v}

deux endomorphismes symétriques de

{E}

euclidien. On suppose que

{u,v}

sont à spectre positif. Montrer que

{\text{tr}(uv)\geq 0}

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Équation matricielle AM+MA=B

(Oral Centrale Mp)
Équation matricielle AM+MA=B, avec A,B symétriques définies positives.

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Un endomorphisme symétrique de ℝ_n[X]

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Étude d’un endomorphisme symétrique de ℝn[X].

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Méthode du gradient à pas constant

(Oral Centrale Mp)
Dans

{\mathbb{R}^n}

, résolution de

{Ax=b}

par la méthode du gradient à pas constants.

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Matrices de Householder

(Oral Centrale Mp)
Matrices de Householder pour a décomposition QR

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Produit de Hadamard dans S_n,+(ℝ)

(Oral X-Cachan)
Un exercice sur le produit de Hadamard dans

{S_n^+(\mathbb{R})}

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Matrices complètement inversibles

(Oral X-Cachan)
Un exercice sur les matrices « complètement inversibles »

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Points extrémaux d’une partie convexe

(Oral X-Cachan)
Un exercice de l’oral X-Cachan 2017 sur les points extrémaux d’un convexe.

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Matrices symétriques, produits scalaires

Trois exercices sur le thème « Matrices symétriques et produits scalaires »

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Matrices symétriques réelles

Six exercices simples sur le thème « matrices symétriques réelles ».

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Morphismes pour le produit vectoriel

On se place dans

{\mathbb{R}^3}

euclidien orienté.
Trouver les endomorphismes

{f}

tels que :

{\forall\; u,v\in \mathbb{R}^3,\;f(u\wedge v)=f(u)\wedge f(v)}

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Rotations vectorielles du plan

Trois exercices sur le thème « rotations vectorielles du plan ».

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