Équation matricielle AM+MA=B

(Oral Centrale Mp)
Une matrice symétrique réelle {M} est définie positive si {\text{Sp}(M)\subset\mathbb{R}^{+*}}.

  1. Soit {M} une matrice symétrique réelle.
    Montrer que {(a)\Leftrightarrow(b)} :
    (a) la matrice {M} est définie positive.
    (b) {\forall\,X\in\mathbb{R}^n,\;X\ne0,\;X^{\top}MX>0}.
  2. Dans cette question, {A,B} sont symétriques réelles définies positives d’ordre {n}.

    Soit l’équation {\;(E):\;AM+MA=B}, où {M} est cherchée dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.

    • Montrer que {(E)} a une unique solution {M} et que {M} est symétrique.
    • Plus précisément, prouver que {M} est symétrique définie positive.

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