Série entière et matrice circulante
(Oral Centrale) On définit une famille de séries entières, base de l’espace des solutions de {y^{(n)}=y}. On calcule un déterminant circulant associé.
Calculs de déterminants
L’ensemble des comatrices
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on détermine l’ensemble image de l’application qui à une matrice {A} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} associe sa comatrice.
Matrices extrémales à coeffs dans [-1,1]
(Oral Centrale) Parmi les matrices carrées {A} de taille n telles que {|a_{i,j}|\le1}, on s’intéresse aux matrices dites extrémales, c’est-à-dire qui maximisent {|\det(A)|}. On voit comment former de telles matrices pour certaines valeurs de {n}.
Espérance d’un déterminant
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=(a_{i,j})_{1\leq i_{j}\leq n}}, où les {a_{i,j}} sont des v.a.r. mutuellement indépendantes d’espérance finie.
Montrer : {E(\det A)=\det ((E(a_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n})}.
On suppose que les {a_{i,j}} suivent toutes la même loi. Soit {x\in \mathbb{R}}. Calculer {E(\chi_{A}(x))}.
Soit {A=(a_{i,j})_{1\leq i_{j}\leq n}}, où les {a_{i,j}} sont des v.a.r. mutuellement indépendantes d’espérance finie.
Montrer : {E(\det A)=\det ((E(a_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n})}.
On suppose que les {a_{i,j}} suivent toutes la même loi. Soit {x\in \mathbb{R}}. Calculer {E(\chi_{A}(x))}.
Indépendance d’une famille de fonctions
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(f_{1},\ldots,f_{n})} une famille de fonctions de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}. Montrer qu’elle est libre si et seulement s’il existe {n} réels {x_{1},\ldots,x_{n}} tels que la matrice des {f_{i}(x_{j})} soit inversible dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}.
Soit {(f_{1},\ldots,f_{n})} une famille de fonctions de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}. Montrer qu’elle est libre si et seulement s’il existe {n} réels {x_{1},\ldots,x_{n}} tels que la matrice des {f_{i}(x_{j})} soit inversible dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}.
Déterminant de la matrice des ppcm(i,j)
(Oral Centrale Mp)
La matrice M des ppcm(i,j). Décomposition puis déterminant de M.
La matrice M des ppcm(i,j). Décomposition puis déterminant de M.
Déterminant et produit de Kronecker
Pour {A=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{K})}, {M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}, soit {A\otimes M=\begin{pmatrix}aM&bM\cr cM&dM\end{pmatrix}}.
Établir que {\det(A\otimes M)=(\det A)^n(\det M)^2}
Déterminant par blocs
Soit {M,N,P,Q} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}, avec PQ=QP.
Montrer que {\det\begin{pmatrix}M&N\\ P&Q \end{pmatrix}=\det(MQ-NP)}.
Montrer que {\det\begin{pmatrix}M&N\\ P&Q \end{pmatrix}=\det(MQ-NP)}.
Déterminant et racines d’un polynôme
(Oral Ccp)
On calcule un déterminant d’ordre n dont les coefficients diagonaux sont fonctions des racines (toutes distinctes) du polynôme {P_{n}=X^{n}-X+1}.
On calcule un déterminant d’ordre n dont les coefficients diagonaux sont fonctions des racines (toutes distinctes) du polynôme {P_{n}=X^{n}-X+1}.
Indépendance de formes linéaires
(Oral Centrale)
Soit {(f_{1},\ldots ,f_{p})} des formes linéaires sur {E}, avec \dim(E)=p. Montrer i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii) :
i) la famille {(f_{1},\ldots,f_{p})} est libre;
ii) {\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))} est surjective;
iii) {\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}, {\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}.
Soit {(f_{1},\ldots ,f_{p})} des formes linéaires sur {E}, avec \dim(E)=p. Montrer i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii) :
i) la famille {(f_{1},\ldots,f_{p})} est libre;
ii) {\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))} est surjective;
iii) {\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}, {\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}.
Vandermonde, le retour
(Oral École Navale)
Calculer {\det(M)}, où {m_{i,j}=j(a_{i}^{j-2}+a_{i}^{j-1})} si {2\le j\le n}, et {m_{i1}=1}.
Calculer {\det(M)}, où {m_{i,j}=j(a_{i}^{j-2}+a_{i}^{j-1})} si {2\le j\le n}, et {m_{i1}=1}.
Déterminant positif, par blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A, B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} et {M=\begin{pmatrix}A&-B\\ B&A\end{pmatrix}}.
Montrer que {\det(M)\ge 0}.
Soient {A, B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} et {M=\begin{pmatrix}A&-B\\ B&A\end{pmatrix}}.
Montrer que {\det(M)\ge 0}.
Conditions impliquant det(x A + y B)=0
](Oral Mines-Ponts)
Soit {A,B\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}, avec {\det(A)=\det(B)=\det(A\!+\!B)=\det(A\!-\!B)=0}.
Calculer {\det(xA+yB)} pour tous réels {x,y}.
Soit {A,B\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}, avec {\det(A)=\det(B)=\det(A\!+\!B)=\det(A\!-\!B)=0}.
Calculer {\det(xA+yB)} pour tous réels {x,y}.
Un déterminant tridiagonal
(Oral Mines-Ponts)
On définit {M_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} par {m_{i,i}=\dfrac{a}{b}}, {m_{i,i+1}=a}, {m_{i+1,i}=\dfrac{1}{b}} (et {0} sinon).
Calculer le déterminant \Delta_n de {M_{n}}.
On définit {M_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} par {m_{i,i}=\dfrac{a}{b}}, {m_{i,i+1}=a}, {m_{i+1,i}=\dfrac{1}{b}} (et {0} sinon).
Calculer le déterminant \Delta_n de {M_{n}}.
Déterminant et Chebyshev
Matrices réelles semblables dans Mn(ℂ)
(Oral Tpe)
Si deux matrices réelles A,B sont semblables dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}, elles le sont dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}.
Si deux matrices réelles A,B sont semblables dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}, elles le sont dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}.
Déterminant et coefficients binomiaux
(Oral Ensam)
Soit {A\in {\mathcal M}_{p+1}(\mathbb{R})} où {a_{i,j} =\dbinom{m+i}{j}}.
Calculer {\det(A)}.
Soit {A\in {\mathcal M}_{p+1}(\mathbb{R})} où {a_{i,j} =\dbinom{m+i}{j}}.
Calculer {\det(A)}.
Matrices par blocs
(Oral X-Cachan Psi)
Pour toute matrice {P} de {{\mathcal M}_{p}(\mathbb{K})}, on montre qu’il existe une matrice diagonale {J}, avec des coefficients {\pm1} sur sa diagonale, telle que {\det (P+J)\ne 0}.
Pour toute matrice {P} de {{\mathcal M}_{p}(\mathbb{K})}, on montre qu’il existe une matrice diagonale {J}, avec des coefficients {\pm1} sur sa diagonale, telle que {\det (P+J)\ne 0}.
Un déterminant et un polynôme
(Oral Mines-Ponts)
Soient {a_1,\cdots ,a_n\in\mathbb{C}} distincts.
Calculer : {P_n(x)=\begin{vmatrix}x & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & x & a_3 & & \vdots \\ \vdots & a_2 &x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &a_n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}&x\end{vmatrix}\quad}
Soient {a_1,\cdots ,a_n\in\mathbb{C}} distincts.
Calculer : {P_n(x)=\begin{vmatrix}x & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & x & a_3 & & \vdots \\ \vdots & a_2 &x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &a_n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}&x\end{vmatrix}\quad}
Déterminant variable ?
(Oral Mines-Ponts)
Soient {n} un entier positif pair, et soit A antisymétrique dans {\mathcal M}_n(\mathbb{R}). Soit J la matrice de {\mathcal M}_n(\mathbb{R}) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Étudier la fonction {t\in\mathbb{R}\mapsto\det( A+tJ)}.
Soient {n} un entier positif pair, et soit A antisymétrique dans {\mathcal M}_n(\mathbb{R}). Soit J la matrice de {\mathcal M}_n(\mathbb{R}) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Étudier la fonction {t\in\mathbb{R}\mapsto\det( A+tJ)}.