Suites numériques
Exercices corrigés sur le thème « suites numériques » pour Mpsi Pcsi, et Spé Mp, Pc, Psi (concours Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

Décomposition en suites monotones

(oral Mines-Ponts)
Soit

{u\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}}

. Montrer qu’il existe des suites

{v}

{w}

respectivement croissante et décroissante telles que

{u=v+w}

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Suite récurrente, calculs asymptotiques

(Oral Centrale)
Soit

{x_{0}>0}

et :

{\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}

.
On demande un développement asymptotique à deux termes de

{x_n}

{+\infty}

➡️

Suites C-convergentes

(oral Centrale)
Une suite

{(u_{n})}

est dite C-convergente si

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}(u_{1}+\cdots+ u_{n})=0}

.
Donner un exemple de suite

{C}

-convergente non convergente.
Montrer qu’une suite tendant vers

{0}

est

{C}

-convergente.
Soit

{\alpha\in\,]0, 1[}

. Montrer que la suite

{n\mapsto(-1)^{n}n^{\alpha}}

est

{C}

-convergente.

➡️

Série entière et série numérique

(Oral Mines-Ponts)
Rayon de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{2n+1}}

, où

{a_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2k+1}}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}=\sqrt{e}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}n!(2n+1)}}

➡️

Étude d’une suite récurrente

(Oral Mines-Ponts)
Étudier la suite définie par

u_1\gt0

et :

{\forall n\ge1,\;u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+nu_{n}^{2}}}

➡️

Une limite de somme

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{p \in\mathbb{R}}

. Étudier la suite

{n\mapsto S_{n}(p) = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{1+k^{p}}}

➡️

Étude d’une suite implicite

(oral Ccp)
Soit

u_n

l’unique solution positive de

{x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x-1=0}

.
On étudie la limite

\ell

de la suite

(u_n)

, puis un équivalent de

u_n-\ell

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Reste d’une série de Riemann

(Oral Ccp)
Encadrement et équivalent de

{R_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{\alpha}}}

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Probabilités et urne bicolore

(Oral Mines-Ponts)
Une urne contient

{2a}

boules blanches et

{a}

boules noires. On effectue des tirages d’une boule avec remise. Soit

{X}

le nombre de tirages effectués lorsqu’on obtient pour la première fois deux boules noires consécutives. On demande la loi de

X

{E(X)}

(deux méthodes)

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Itérées d’une transformation du plan

(oral Centrale)
Dans le plan euclidien, soit

{\Phi}

l’application qui envoie le point

{M = (a,b)}

sur le projeté orthogonal de

{M}

sur la droite

{(QP)}

avec

{P = (a,0)}

{Q = (0, b)}

. Pour tout point

M_0

du plan, on étudie la suite définie par

{M_{n+1}=\Phi(M_{n})}

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Valeurs d’adhérence

(Oral X-Cachan Psi)
On définit l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite complexe bornée

(u)

. On montre qu’il fermé non vide, et se réduit à un singleton si et seulement si

(u)

converge. On étudie enfin le cas des suites définies par une récurrence du type

u_{n+1}=f(u_n)

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Un développement asymptotique

(oral Mines-Ponts)
On considère l’équation

(E_n):\text{e}^x=x^n

, avec

n\in\mathbb{N}

.
1. Montrer que pour

n

assez grand

(E_n)

a dans

{\mathbb{R}^{+*}}

deux solutions

{u_{n}\lt v_{n}}

.
2. Montrer que la suite

{(u_{n})}

converge vers une limite

{\ell}

que l’on précisera. Donner un équivalent de

{u_{n}-\ell}

quand

{n}

tend vers

{+\infty}

.
3. Calculer

{\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_{n}}

puis donner un équivalent de

{v_{n}}

quand

{n}

tend vers

{+\infty}

.
4. Donner un développement asymptotique à deux termes de

{v_{n}}

➡️