Exercices sur la réduction (2/2)
Six exercices sur le thème « réduction »
Concours Mines-Ponts
Matrices semblables, par blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A,B} diagonalisables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}.
On suppose {\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\cap \mathrm{S}\mathrm{p}(B)=\emptyset }.
Soit {N=\begin{pmatrix}A & C \\0 & B\end{pmatrix}} et {M=\begin{pmatrix}A & 0 \\0 & B\end{pmatrix}}
Montrer que {M\;\text{et}\;N} sont semblables.
Sont-elles diagonalisables?
Soient {A,B} diagonalisables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}.
On suppose {\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\cap \mathrm{S}\mathrm{p}(B)=\emptyset }.
Soit {N=\begin{pmatrix}A & C \\0 & B\end{pmatrix}} et {M=\begin{pmatrix}A & 0 \\0 & B\end{pmatrix}}
Montrer que {M\;\text{et}\;N} sont semblables.
Sont-elles diagonalisables?
Droite ou plan stable
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un {\mathbb{R}}-espace vectoriel de dimension {n\geq 2}.
Montrer que tout endomorphisme de {E} possède un
sous-espace stable de dimension 1 ou 2.
Soit {E} un {\mathbb{R}}-espace vectoriel de dimension {n\geq 2}.
Montrer que tout endomorphisme de {E} possède un
sous-espace stable de dimension 1 ou 2.
P(A) diagonalisable, P'(A) inversible
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} . On suppose qu’il existe {P\in \mathbb{C}[X]} tel que {P(A)} soit diagonalisable et {P^{\prime }(A)} inversible.
Montrer que la matrice {A} est diagonalisable.
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} . On suppose qu’il existe {P\in \mathbb{C}[X]} tel que {P(A)} soit diagonalisable et {P^{\prime }(A)} inversible.
Montrer que la matrice {A} est diagonalisable.
Diagonalisabilité par blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} avec {AB=BA}
Soit {M=\left(\begin{array}{ll}A & B \\0 & A\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})}.
Condition pour que {M} soit diagonalisable.
Soient {A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} avec {AB=BA}
Soit {M=\left(\begin{array}{ll}A & B \\0 & A\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})}.
Condition pour que {M} soit diagonalisable.
Deux suites de tirages monocolores
(Oral Mines-Ponts 2018)
Une urne contient une proportion {p\in\,]0,1[} de boules blanches et le reste de boules noires.
On effectue des tirages successifs avec remise.
On note {X_1,X_2} les longueurs des deux premières suites monocolores.
Donner la loi de {X_1}, son espérance, sa variance.
Donner la loi du couple {(X_1,X_2)}.
En déduire la loi de {X_2}, son espérance, sa variance.
Une urne contient une proportion {p\in\,]0,1[} de boules blanches et le reste de boules noires.
On effectue des tirages successifs avec remise.
On note {X_1,X_2} les longueurs des deux premières suites monocolores.
Donner la loi de {X_1}, son espérance, sa variance.
Donner la loi du couple {(X_1,X_2)}.
En déduire la loi de {X_2}, son espérance, sa variance.
Promenade aléatoire sur ℤ
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(X_{n})_{n\geq 1}} des v.a.r. indépendantes telles que :
{X_n(\Omega)\!=\!\{-1,1\}\;\text{et}\;\mathbb{P}(X_{i}\!=\!1)\!=\!\mathbb{P}(X_{i}\!=\!-1)\!=\!\dfrac{1}{2}}Montrer que {S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}} prend presque sûrement une infinité de fois la valeur {k}.
Soit {(X_{n})_{n\geq 1}} des v.a.r. indépendantes telles que :
{X_n(\Omega)\!=\!\{-1,1\}\;\text{et}\;\mathbb{P}(X_{i}\!=\!1)\!=\!\mathbb{P}(X_{i}\!=\!-1)\!=\!\dfrac{1}{2}}Montrer que {S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}} prend presque sûrement une infinité de fois la valeur {k}.
Le plus petit numéro tiré
(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans une urne de {N} boules numérotées de {1} à {N}, on réalise {n} tirages avec remise. On note {X_{N}} le plus petit numéro tiré. Calculer {E(X_{N})} puis un équivalent de {V(X_N)} quand {N\to+\infty}.
Dans une urne de {N} boules numérotées de {1} à {N}, on réalise {n} tirages avec remise. On note {X_{N}} le plus petit numéro tiré. Calculer {E(X_{N})} puis un équivalent de {V(X_N)} quand {N\to+\infty}.
Équation différentielle et prolongement
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit l’équation différentielle {(E)} : {2xy'+y=\dfrac{1}{1-x}}.
Résoudre {(E)} sur {]-\infty ,0[}, {]0,1[} et {]1,+\infty \lbrack}.
Montrer que {(E)} a une unique solution sur {]-\infty ,1[}.
Montrer que cette solution est {\mathcal{C}^{\infty}}.
Soit l’équation différentielle {(E)} : {2xy'+y=\dfrac{1}{1-x}}.
Résoudre {(E)} sur {]-\infty ,0[}, {]0,1[} et {]1,+\infty \lbrack}.
Montrer que {(E)} a une unique solution sur {]-\infty ,1[}.
Montrer que cette solution est {\mathcal{C}^{\infty}}.
Dérivation d’intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine de {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{t}{t^{2}+x^{2}}\arctan \dfrac{1}{t}\text{d}t}.
Montrer que {f} est {\mathcal{C}^{1}}. Calculer {f'} puis {f}.
Domaine de {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{t}{t^{2}+x^{2}}\arctan \dfrac{1}{t}\text{d}t}.
Montrer que {f} est {\mathcal{C}^{1}}. Calculer {f'} puis {f}.
Calcul d’une intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1-\cos (tx)}{t^{2}(1+t^{2})}\,\text{d}t}
Montrer que {f} est {C^{2}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer {\vphantom{\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}}f(x)=\dfrac{\pi}{2}(e^{-x}+x-1)} sur {\mathbb{R}^{+}}.
Soit {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1-\cos (tx)}{t^{2}(1+t^{2})}\,\text{d}t}
Montrer que {f} est {C^{2}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer {\vphantom{\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}}f(x)=\dfrac{\pi}{2}(e^{-x}+x-1)} sur {\mathbb{R}^{+}}.
Équivalent d’une suite d’intégrales
(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence de {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin (nt)}{1+n^{5}t^{3}}\,\text{d}t}.
Donner {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_{n}} et un équivalent simple de {I_{n}}.
Existence de {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin (nt)}{1+n^{5}t^{3}}\,\text{d}t}.
Donner {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_{n}} et un équivalent simple de {I_{n}}.
Série entière (très) lacunaire
(Oral Mines-Ponts 2018)
Préciser le rayon de convergence de {f(x)=\displaystyle\sum x^{2^{n}}}.
Donner un équivalent de {f(x)} quand {x\to1}.
Préciser le rayon de convergence de {f(x)=\displaystyle\sum x^{2^{n}}}.
Donner un équivalent de {f(x)} quand {x\to1}.
Étude locale d’une série entière
(Oral Mines-Ponts 2018)
Calculer le rayon {R} de {f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n\geq 1}\tan \left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) x^{n}}.
Convergence en {\pm \ R}? Déterminer {\displaystyle\lim_{x\to1}(1-x)f(x)}.
Calculer le rayon {R} de {f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n\geq 1}\tan \left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) x^{n}}.
Convergence en {\pm \ R}? Déterminer {\displaystyle\lim_{x\to1}(1-x)f(x)}.
Série entière et dérangements
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {D_{n}} le nombre de permutations de {\{1,\ldots,n\}} sans point fixe (par convention, {D_0=1}).
Soit la série entière {f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{D_{n}}{n!}x^{n}}.
Montrer {\displaystyle\sum\limits_{p=0}^{n}\dbinom{n}{p}D_{p}=n!} et calculer {e^{x}f(x)}.
En déduire {D_{n}} sous forme de somme alternée.
Soit {D_{n}} le nombre de permutations de {\{1,\ldots,n\}} sans point fixe (par convention, {D_0=1}).
Soit la série entière {f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{D_{n}}{n!}x^{n}}.
Montrer {\displaystyle\sum\limits_{p=0}^{n}\dbinom{n}{p}D_{p}=n!} et calculer {e^{x}f(x)}.
En déduire {D_{n}} sous forme de somme alternée.
Série entière et nombres de Catalan
(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose {a_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;a_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}a_{n-k}}.
Calculer {a_{n}} pour tout {n\in\mathbb{N}}.
On pose {a_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;a_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}a_{n-k}}.
Calculer {a_{n}} pour tout {n\in\mathbb{N}}.
Série entière et suite récurrente
(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose {a_{0}=a_{1}=1} puis {a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}.
Que peut-on dire du rayon {R} de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n} ?
Trouver {f(x)} et exprimer les {a_{n}} à l’aide d’une somme.
On pose {a_{0}=a_{1}=1} puis {a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}.
Que peut-on dire du rayon {R} de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n} ?
Trouver {f(x)} et exprimer les {a_{n}} à l’aide d’une somme.
Série entière et intégrale
(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!\dfrac{e^{-t}\,\text{d}t}{1-x\sin ^{2}t}} existe si {x\lt1}.
Développer {f} en série entière en {0}.
Montrer que {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!\dfrac{e^{-t}\,\text{d}t}{1-x\sin ^{2}t}} existe si {x\lt1}.
Développer {f} en série entière en {0}.
Série de fonctions et série entière
(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}} est développable en série entière sur {]-1,1[}
Montrer que {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}} est développable en série entière sur {]-1,1[}
Intégrale et constante d’Euler
(Oral Mines-Ponts 2018)
On montre que {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\biggl(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\ln (1-t)}\biggr) \,\text{d}t=\gamma} (constante d’Euler)
On montre que {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\biggl(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\ln (1-t)}\biggr) \,\text{d}t=\gamma} (constante d’Euler)