Concours Mines-Ponts
Exercices corrigés de mathématiques posés à l’oral du concours commun Mines-Ponts (math Spé Mp, Pc, Psi)

Une limite de somme

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{p \in\mathbb{R}}

. Étudier la suite

{n\mapsto S_{n}(p) = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{1+k^{p}}}

➡️

Rayon de convergence de ∑ tr(A^k)z^k

(Oral Mines-Ponts et Telecom Sud Paris)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

. Donner le rayon de

{\displaystyle\sum\text{tr}(A^{k})z^{k}}

➡️

Réduction d’une matrice en damier

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A = (a_{i,j})\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})}

telle que

{a_{i,j} = 1}

{i+ j}

est pair,

{a_{i,j} = 2}

sinon.
Diagonaliser A. Résoudre

{X^{2} + 2X = A}

dans

{{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})}

➡️

Sev stables par u diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E}

\mathbb{K}

-ev de dimension

{n\ge1}

{u \in{\mathcal L}(E)}

tel que

{\text{card}(\text{Sp}(u)) = n}

.
Dénombrer les sous-espaces de

{E}

qui sont stables par

{u}

➡️

Réduction d’une matrice en L

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{R}^{n}}

{M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{m_{i,n} = m_{n,i} = a_{i}}

pour tout

{i}

, et

{m_{i,j}=0}

sinon.
Montrer que

{M}

est diagonalisable puis diagonaliser

{M}

➡️

Endomorphisme et produit vectoriel

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u}

dans

{E}

euclidien orienté de dimension

{3}

.
Déterminer les

{f\in\mathcal{L}(E)}

tels que

{x\wedge u}

f(x)

sont liés pour tout

{x\in E}

➡️

Réflexions conjuguées

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{H_{1}, H_{2}}

deux hyperplans de

{E}

euclidien. On note

{s_{i}}

la réflexion par rapport à

{H_{i}}

.
Montrer que

{s_{1}s_{2}=s_{2}s_{3}}

, où

{s_{3}}

est la réflexion par rapport à

{H_{3}=s_2(H_1)}

➡️

Diagonalisation et hyperplans stables

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}^n)}

, avec

{n\ge1}

. Montrer que

(a)\Leftrightarrow(b)

:
(a) l’endomorphisme

{f}

est diagonalisable,
(b) il existe

{n}

hyperplans

{H_{1},\cdots,H_{n}}

stables par

{f}

tels que

{H_{1}\cap\cdots\cap H_{n} = \{0\}}

➡️

Racines carrées d’une matrice

(Oral Mines-Ponts)
Trouver les

{M\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{C})}

{M^2=}

{\begin{pmatrix}0& 1& 1& 1\\1& 0& 1& 1\\1& 1& 0& 1\\1& 1& 1& 0\end{pmatrix}}

➡️

Déterminant positif, par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A, B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

{M=\begin{pmatrix}A&-B\\ B&A\end{pmatrix}}

.
Montrer que

{\det(M)\ge 0}

➡️

Conditions impliquant det(x A + y B)=0

](Oral Mines-Ponts)
Soit

{A,B\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}

, avec

{\det(A)=\det(B)=\det(A\!+\!B)=\det(A\!-\!B)=0}

.
Calculer

{\det(xA+yB)}

pour tous réels

{x,y}

➡️

Matrice semblable à son opposée

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in {\mathcal M}_{2}(\mathbb{C})}

. Alors (

{A}

est semblable à

{-A}

)

{\Longleftrightarrow\text{tr}(A) = 0}

➡️

Projecteur p vérifiant u = pu – up ?

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u}

un endomorphisme d’un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

{E}

.
À quelle condition existe-t-il un projecteur

{p}

{E}

vérifiant

{u= pu-up\,}

➡️

Racine carrée de la dérivation?

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E_{1}}

le plan de

{E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

engendré par

x\mapsto\sin x

x\mapsto \cos x

.
Existe-t-il

{u\in{\mathcal L}(E_1)}

tel que :

{\forall f\in E_1,\;u^{2}(f)=f'\;}

?
Existe-t-il

{v\in{\mathcal L}(E)}

tel que :

{\forall f\in E,\;v^{2}(f)=f'\;}

➡️

Commutant d’un nilpotent

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u \in{\mathcal L}(E)}

, avec

\dim(E)=n

. On suppose

{u^{n}=0}

{u^{n-1}\ne0}

. Déterminer les sous-espaces vectoriels de

{E}

stables par

{u}

. Déterminer

{\mathcal{C}(u)=\{f\in {\mathcal L}(E),\;fu=uf\}}

.
Quelle est sa dimension?

➡️

Un déterminant tridiagonal

(Oral Mines-Ponts)
On définit

{M_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

par

{m_{i,i}=\dfrac{a}{b}}

{m_{i,i+1}=a}

{m_{i+1,i}=\dfrac{1}{b}}

(et

{0}

sinon).
Calculer le déterminant

\Delta_n

{M_{n}}

➡️

Déterminant et Chebyshev

Soit

{M = (\cos(p\!-\!1)t_{q})_{1\le p,q\le n}}

. Calculer

{\det(M)}

➡️

Isomorphisme entre L(E) et E^n

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel de dimension

{n\in\mathbb{N}^{*}}

. Soit

{(e_{k})_{1\le k\le n}}

dans

{E}

.
Soit

{\varphi\colon{\mathcal L}(E)\rightarrow E^{n}}

défini par

{\varphi(u)=(u(e_{1}),\ldots,u(e_{n}))}

. Montrer que

{\varphi}

est linéaire, et que c’est un isomorphisme si et seulement si

{(e_{k})_{1\le k\le n}}

est une base de

{E}

➡️

Les cos(kx) et sin(kx) sont libres

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que les fonctions

{x\mapsto \cos(x)}

{x\mapsto \sin(x)}

{x\mapsto \cos(2x)}

{x\mapsto \sin(2x)}

{\ldots}

{x\mapsto \cos (nx)}

{x\mapsto \sin(nx)}

sont linéairement indépendantes.

➡️

Polynômes tels que P(X)=P(1-X)

(oral Mines-Ponts)
Déterminer l’ensemble des

{P\in\mathbb{K}[X]}

tels que

{P(X) = P(1- X)}

➡️