Série génératrice d’une récurrence linéaire
(Oral Centrale) On étudie la série entière génératrice d’une récurrence linéaire d’ordre 3. Par plusieurs points de vue, on résout cette récurrence.
Séries entières génératrices
Suite récurrente et série génératrice
(Oral Centrale 2018)
Soit {(u_{n})} une suite telle que : {\forall\,n\geq 3,\;u_{n}=6u_{n-1}-11u_{n-2}+6u_{n-3}}.
Montrer : {\exists\,c\geq 0,\;\forall\,n\in\mathbb{N},\;|u_{n}|\leq c\,8^{n}}.
Trouver le rayon {R} et la somme {S} de {\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}x^{n}}.
Soit {(u_{n})} une suite telle que : {\forall\,n\geq 3,\;u_{n}=6u_{n-1}-11u_{n-2}+6u_{n-3}}.
Montrer : {\exists\,c\geq 0,\;\forall\,n\in\mathbb{N},\;|u_{n}|\leq c\,8^{n}}.
Trouver le rayon {R} et la somme {S} de {\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}x^{n}}.
Nombres de Bell
(Oral Centrale 2018)
On pose {u_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}u_{k}}.
Écrire une fonction Python calculant {u_n}.
Conjecturer la valeur de {\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum\limits_{k\ge 0}\dfrac{k^{n}}{k!}}.
Prouver cette conjecture. Calculer {f(x)=\displaystyle\sum\dfrac{u_{n}}{n!}x^n}.
On pose {u_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}u_{k}}.
Écrire une fonction Python calculant {u_n}.
Conjecturer la valeur de {\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum\limits_{k\ge 0}\dfrac{k^{n}}{k!}}.
Prouver cette conjecture. Calculer {f(x)=\displaystyle\sum\dfrac{u_{n}}{n!}x^n}.
Série entière et dérangements
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {D_{n}} le nombre de permutations de {\{1,\ldots,n\}} sans point fixe (par convention, {D_0=1}).
Soit la série entière {f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{D_{n}}{n!}x^{n}}.
Montrer {\displaystyle\sum\limits_{p=0}^{n}\dbinom{n}{p}D_{p}=n!} et calculer {e^{x}f(x)}.
En déduire {D_{n}} sous forme de somme alternée.
Soit {D_{n}} le nombre de permutations de {\{1,\ldots,n\}} sans point fixe (par convention, {D_0=1}).
Soit la série entière {f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{D_{n}}{n!}x^{n}}.
Montrer {\displaystyle\sum\limits_{p=0}^{n}\dbinom{n}{p}D_{p}=n!} et calculer {e^{x}f(x)}.
En déduire {D_{n}} sous forme de somme alternée.
Série entière et suite récurrente
(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose {a_{0}=a_{1}=1} puis {a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}.
Que peut-on dire du rayon {R} de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n} ?
Trouver {f(x)} et exprimer les {a_{n}} à l’aide d’une somme.
On pose {a_{0}=a_{1}=1} puis {a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}.
Que peut-on dire du rayon {R} de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n} ?
Trouver {f(x)} et exprimer les {a_{n}} à l’aide d’une somme.
Duo de séries entières
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(u_{n})} une suite bornée, et {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k}.
Rayons de {u(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}\;\text{et}\;S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{S_{n}}{n!}x^{n}}.
Relation entre {u'}, {S'} et {S}.
Calcul de {\displaystyle\lim_{+\infty}S(x)e^{-x}} quand {u_{n}=(-1)^{n}}.
Soit {(u_{n})} une suite bornée, et {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k}.
Rayons de {u(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}\;\text{et}\;S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{S_{n}}{n!}x^{n}}.
Relation entre {u'}, {S'} et {S}.
Calcul de {\displaystyle\lim_{+\infty}S(x)e^{-x}} quand {u_{n}=(-1)^{n}}.
Série génératrice et suite récurrente
(Oral Centrale Mp)
Étude d’une suite récurrente, via sa série génératrice.
Étude d’une suite récurrente, via sa série génératrice.
La suite de Perrin
(Oral Centrale Mp)
La suite de Perrin
La suite de Perrin
Série entière et produit de Cauchy
(Oral Ccp)
On définit {u_{0}=3}, {u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}.
Écrire {f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}} à l’aide de fonctions usuelles
On définit {u_{0}=3}, {u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}.
Écrire {f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}} à l’aide de fonctions usuelles
Nombres de Bell, formule de Dobinksi
(Oral Mines-Ponts)
Soit {B_n} le nombre de partitions de {[[1,n]]}.
Montrer {B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}x^n=e^{e^x-1}}
Montrer : {T_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}} (formule de Dobinski).
Soit {B_n} le nombre de partitions de {[[1,n]]}.
Montrer {B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}x^n=e^{e^x-1}}
Montrer : {T_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}} (formule de Dobinski).
Étude de séries entières
(Oral Mines-Ponts)
Soit {s_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}}, sachant que {\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|u_{k}|} converge.
Étudier {U(x) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{u_{k}}{k!}x^{k}} et {S(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{s_{k}}{k!}x^{k}}.
Soit {s_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}}, sachant que {\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|u_{k}|} converge.
Étudier {U(x) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{u_{k}}{k!}x^{k}} et {S(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{s_{k}}{k!}x^{k}}.
Pavage par des dominos
On s’intéresse au nombre u_n de façons de remplir un rectangle 4\times n par des dominos (horizontaux ou verticaux). On trouve une relation de récurrence vérifiée par les {u_{n}}. On écrit une fonction Python calculant {u_n}. On donne une expression des u_n et on étudie leur série génératrice.
Involutions et séries entières
(Oral Centrale)
Soit {I_{n}} le nombre d’involutions de {[\![1,n]\!]} avec {I_{0}=1}.
1. Donner {I_{1},I_{2},I_{3}}. Montrer : {I_{n+1}=I_{n}+nI_{n-1}}.
2. Montrer que {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{I_{n}}{n!}x^{n}} est de rayon {R > 0}.
3. Calculer {(1\!+\!x)S(x)} et en déduire {S(x)} et {I_{n}}.
Soit {I_{n}} le nombre d’involutions de {[\![1,n]\!]} avec {I_{0}=1}.
1. Donner {I_{1},I_{2},I_{3}}. Montrer : {I_{n+1}=I_{n}+nI_{n-1}}.
2. Montrer que {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{I_{n}}{n!}x^{n}} est de rayon {R > 0}.
3. Calculer {(1\!+\!x)S(x)} et en déduire {S(x)} et {I_{n}}.
Une série génératrice
(Oral Centrale)
Soit {a_n} le coefficient de {X^n} dans {(X^2\!+\!X\!+\!1)^n}.
Montrer que {f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq0}a_nx^n} est de rayon {R\ge\dfrac{1}{3}}.
On admet la relation : {na_n=(2n\!-\!1)a_{n-1}+3(n\!-\!1)a_{n-2}}(voir l’article « Coefficient trinomial central »)
Déterminer {R}. Exprimer {f(x)}.
Soit {a_n} le coefficient de {X^n} dans {(X^2\!+\!X\!+\!1)^n}.
Montrer que {f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq0}a_nx^n} est de rayon {R\ge\dfrac{1}{3}}.
On admet la relation : {na_n=(2n\!-\!1)a_{n-1}+3(n\!-\!1)a_{n-2}}(voir l’article « Coefficient trinomial central »)
Déterminer {R}. Exprimer {f(x)}.