Séries entières génératrices

Exercices corrigés

Suite récurrence et série génératrice

(Oral Centrale 2018)
Soit

{(u_{n})}

une suite telle que :

{\forall\,n\geq 3,\;u_{n}=6u_{n-1}-11u_{n-2}+6u_{n-3}}

.
Montrer :

{\exists\,c\geq 0,\;\forall\,n\in\mathbb{N},\;|u_{n}|\leq c\,8^{n}}

.
Trouver le rayon

{R}

et la somme

{S}

{\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}x^{n}}

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Nombres de Bell

(Oral Centrale 2018)
On pose

{u_{0}=1}

et :

{\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}u_{k}}

.
Écrire une fonction Python calculant

{u_n}

.
Conjecturer la valeur de

{\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum\limits_{k\ge 0}\dfrac{k^{n}}{k!}}

.
Prouver cette conjecture. Calculer

{f(x)=\displaystyle\sum\dfrac{u_{n}}{n!}x^n}

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Série entière et dérangements

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{D_{n}}

le nombre de permutations de

{\{1,\ldots,n\}}

sans point fixe (par convention,

{D_0=1}

).
Soit la série entière

{f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{D_{n}}{n!}x^{n}}

.
Montrer

{\displaystyle\sum\limits_{p=0}^{n}\dbinom{n}{p}D_{p}=n!}

et calculer

{e^{x}f(x)}

.
En déduire

{D_{n}}

sous forme de somme alternée.

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Série entière et suite récurrente

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose

{a_{0}=a_{1}=1}

puis

{a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}

.
Que peut-on dire du rayon

{R}

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n}

?
Trouver

{f(x)}

et exprimer les

{a_{n}}

à l’aide d’une somme.

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Duo de séries entières

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(u_{n})}

une suite bornée, et

{S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k}

.
Rayons de

{u(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}\;\text{et}\;S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{S_{n}}{n!}x^{n}}

.
Relation entre

{u'}

{S'}

{S}

.
Calcul de

{\displaystyle\lim_{+\infty}S(x)e^{-x}}

quand

{u_{n}=(-1)^{n}}

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Série génératrice et suite récurrente

(Oral Centrale Mp)
Étude d’une suite récurrente, via sa série génératrice.

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La suite de Perrin

(Oral Centrale Mp)
La suite de Perrin

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Série entière et produit de Cauchy

(Oral Ccp)
On définit

{u_{0}=3}

{u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}

.
Écrire

{f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}}

à l’aide de fonctions usuelles

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Nombres de Bell, formule de Dobinksi

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{B_n}

le nombre de partitions de

{[[1,n]]}

.
Montrer

{B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k}

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}x^n=e^{e^x-1}}

Montrer :

{T_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}}

(formule de Dobinski).

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Étude de séries entières

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{s_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}}

, sachant que

{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|u_{k}|}

converge.
Étudier

{U(x) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{u_{k}}{k!}x^{k}}

{S(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{s_{k}}{k!}x^{k}}

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Pavage par des dominos

On s’intéresse au nombre

u_n

de façons de remplir un rectangle

4\times n

par des dominos (horizontaux ou verticaux). On trouve une relation de récurrence vérifiée par les

{u_{n}}

. On écrit une fonction Python calculant

{u_n}

. On donne une expression des

u_n

et on étudie leur série génératrice.

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Involutions et séries entières

(Oral Centrale)
Soit

{I_{n}}

le nombre d’involutions de

{[\![1,n]\!]}

avec

{I_{0}=1}

.
1. Donner

{I_{1},I_{2},I_{3}}

. Montrer :

{I_{n+1}=I_{n}+nI_{n-1}}

.
2. Montrer que

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{I_{n}}{n!}x^{n}}

est de rayon

{R > 0}

.
3. Calculer

{(1\!+\!x)S(x)}

et en déduire

{S(x)}

{I_{n}}

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Une série génératrice

(Oral Centrale)
Soit

{a_n}

le coefficient de

{X^n}

dans

{(X^2\!+\!X\!+\!1)^n}

.
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq0}a_nx^n}

est de rayon

{R\ge\dfrac{1}{3}}

.
On admet la relation :

{na_n=(2n\!-\!1)a_{n-1}+3(n\!-\!1)a_{n-2}}

(voir l’article “Coefficient trinomial central”)
Déterminer

{R}

. Exprimer

{f(x)}

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