Séries entières génératrices

On trouvera ici les exercices corrigés du chapitre « Séries entières » dans la catégorie « Séries entières génératrices ».

Nombres de Bell

(Oral Centrale 2018)
On pose {u_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}u_{k}}.
Écrire une fonction Python calculant {u_n}.
Conjecturer la valeur de {\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum\limits_{k\ge 0}\dfrac{k^{n}}{k!}}.
Prouver cette conjecture. Calculer {f(x)=\displaystyle\sum\dfrac{u_{n}}{n!}x^n}.

Série entière et dérangements

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {D_{n}} le nombre de permutations de {\{1,\ldots,n\}} sans point fixe (par convention, {D_0=1}).
Soit la série entière {f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{D_{n}}{n!}x^{n}}.
Montrer {\displaystyle\sum\limits_{p=0}^{n}\dbinom{n}{p}D_{p}=n!} et calculer {e^{x}f(x)}.
En déduire {D_{n}} sous forme de somme alternée.

Duo de séries entières

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(u_{n})} une suite bornée, et {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k}.
Rayons de {u(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}\;\text{et}\;S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{S_{n}}{n!}x^{n}}.
Relation entre {u'}, {S'} et {S}.
Calcul de {\displaystyle\lim_{+\infty}S(x)e^{-x}} quand {u_{n}=(-1)^{n}}.