(Oral Centrale 2018)
Soit {(u_{n})} une suite telle que : {\forall\,n\geq 3,\;u_{n}=6u_{n-1}-11u_{n-2}+6u_{n-3}}.
Montrer : {\exists\,c\geq 0,\;\forall\,n\in\mathbb{N},\;|u_{n}|\leq c\,8^{n}}.
Trouver le rayon {R} et la somme {S} de {\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}x^{n}}.
(Oral Centrale 2018)
On pose {u_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}u_{k}}.
Écrire une fonction Python calculant {u_n}.
Conjecturer la valeur de {\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum\limits_{k\ge 0}\dfrac{k^{n}}{k!}}.
Prouver cette conjecture. Calculer {f(x)=\displaystyle\sum\dfrac{u_{n}}{n!}x^n}.
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {D_{n}} le nombre de permutations de {\{1,\ldots,n\}} sans point fixe (par convention, {D_0=1}).
Soit la série entière {f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{D_{n}}{n!}x^{n}}.
Montrer {\displaystyle\sum\limits_{p=0}^{n}\dbinom{n}{p}D_{p}=n!} et calculer {e^{x}f(x)}.
En déduire {D_{n}} sous forme de somme alternée.
(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose {a_{0}=a_{1}=1} puis {a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}.
Que peut-on dire du rayon {R} de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n} ?
Trouver {f(x)} et exprimer les {a_{n}} à l’aide d’une somme.
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(u_{n})} une suite bornée, et {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k}.
Rayons de {u(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}\;\text{et}\;S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{S_{n}}{n!}x^{n}}.
Relation entre {u'}, {S'} et {S}.
Calcul de {\displaystyle\lim_{+\infty}S(x)e^{-x}} quand {u_{n}=(-1)^{n}}.
(Oral Ccp)
On définit {u_{0}=3}, {u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}.
Écrire {f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}} à l’aide de fonctions usuelles
(Oral Mines-Ponts)
Soit {B_n} le nombre de partitions de {[[1,n]]}.
Montrer {B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}x^n=e^{e^x-1}}
Montrer : {T_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}} (formule de Dobinski).
(Oral Mines-Ponts)
Soit {s_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}}, sachant que {\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|u_{k}|} converge.
Étudier {U(x) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{u_{k}}{k!}x^{k}} et {S(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{s_{k}}{k!}x^{k}}.
On s’intéresse au nombre u_n de façons de remplir un rectangle 4\times n par des dominos (horizontaux ou verticaux). On trouve une relation de récurrence vérifiée par les {u_{n}}. On écrit une fonction Python calculant {u_n}. On donne une expression des u_n et on étudie leur série génératrice.
(Oral Centrale)
Soit {I_{n}} le nombre d’involutions de {[\![1,n]\!]} avec {I_{0}=1}.
1. Donner {I_{1},I_{2},I_{3}}. Montrer : {I_{n+1}=I_{n}+nI_{n-1}}.
2. Montrer que {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{I_{n}}{n!}x^{n}} est de rayon {R > 0}.
3. Calculer {(1\!+\!x)S(x)} et en déduire {S(x)} et {I_{n}}.
(Oral Centrale)
Soit {a_n} le coefficient de {X^n} dans {(X^2\!+\!X\!+\!1)^n}.
Montrer que {f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq0}a_nx^n} est de rayon {R\ge\dfrac{1}{3}}.
On admet la relation : {na_n=(2n\!-\!1)a_{n-1}+3(n\!-\!1)a_{n-2}}(voir l’article « Coefficient trinomial central »)
Déterminer {R}. Exprimer {f(x)}.