Puissances d’un endomorphisme de L(E)
(Oral Centrale) On s’intéresse aux puissances de l’endomorphisme de {\mathcal{L}(E)} défini par {f(u)=(au+ua)/2}, selon les propriétés de l’endomorphisme {a} de {E}.
Endomorphismes de matrices
Itérations de f(M)=(AM+MA)/2
(Oral Centrale) On se donne une matrice {A} carrée d’ordre 3. On étudie les itérations de l’endomorphisme de {\mathcal{M}_3(\mathbb{K})} défini par {f(M)=(AM+MA)/2}.
L’application matricielle M -> AM+MA
(Oral Centrale) On étudie l’application matricielle définie sur {\mathcal{M}_{n}(\K)} par {\varphi(M)=AM+MA}, où {A} est une matrice à polynôme caractéristique scindé.
L’équation matricielle AX-XB=Y
(Oral Centrale) On s’intéresse à l’équation matricielle {AX-XB=Y}, où {A} et {B} sont deux matrices à spectres disjoints. Dans un cas particulier, on exprime la solution {X} sous forme de série matricielle.
Un endomorphisme matriciel
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}, non nulle.
Éléments propres, trace et déterminant de {\varphi:M\to M+\text{tr}(AM)A}.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}, non nulle.
Éléments propres, trace et déterminant de {\varphi:M\to M+\text{tr}(AM)A}.
Équation matricielle AX-XB=Y
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A,B} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}, à spectres disjoints. Montrer que {\chi_{A}(B)} est inversible.
Soit {Y\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}. Montrer {\exists\,X\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\;AX-XB=Y}.
Soit {A,B} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}, à spectres disjoints. Montrer que {\chi_{A}(B)} est inversible.
Soit {Y\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}. Montrer {\exists\,X\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\;AX-XB=Y}.
Éléments propres de M quand MMT=MTM
Soit {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {M{M}^{\top}={M}^{\top}M}.
Montrer que {M,{M}^{\top}} ont mêmes sev propres, et qu’ils sont orthogonaux deux à deux.
Montrer que {M,{M}^{\top}} ont mêmes sev propres, et qu’ils sont orthogonaux deux à deux.
Transposition et diagonalisation
(Oral Ccp)
Diagonalisabilité et trace de {\Phi\,\colon M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})\mapsto \varphi(M)=M+2{M}^{\top}}.
Diagonalisabilité et trace de {\Phi\,\colon M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})\mapsto \varphi(M)=M+2{M}^{\top}}.
Un endomorphisme de matrices
(Oral Centrale)
Soient {A,B} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et \varphi défini par : {\forall\, M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, {\varphi(M)=AM-MB}.
Montrer que si {\alpha\in\text{Sp}(A)} et {\beta\in\text{Sp}(B)}, alors {\alpha -\beta\in\text{Sp}(\varphi)}.
Si {\varphi(M)=\lambda M}, montrer que : {\forall\, P\in \mathbb{R}[X],\;P(A)M=MP(\lambda I_{n}+B)}.
Soient {A,B} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et \varphi défini par : {\forall\, M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, {\varphi(M)=AM-MB}.
Montrer que si {\alpha\in\text{Sp}(A)} et {\beta\in\text{Sp}(B)}, alors {\alpha -\beta\in\text{Sp}(\varphi)}.
Si {\varphi(M)=\lambda M}, montrer que : {\forall\, P\in \mathbb{R}[X],\;P(A)M=MP(\lambda I_{n}+B)}.
Trace et diagonalisation
(Oral Ccp)
Préciser les éléments propres de {\Phi :M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})\mapsto \text{tr} (M)I_n +M}.
Préciser les éléments propres de {\Phi :M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})\mapsto \text{tr} (M)I_n +M}.
Réduction de M -> AMB
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A,B} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}))} définie par {\varphi(M)=AMB}.
Montrer que si A,B sont diagonalisables, \varphi est diagonalisable (deux méthodes)
Soit {A,B} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}))} définie par {\varphi(M)=AMB}.
Montrer que si A,B sont diagonalisables, \varphi est diagonalisable (deux méthodes)
Un endomorphisme diagonalisable
(Oral Mines-Ponts)
Soit {P\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}, avec P^2=P. Diagonalisabilité de {\Phi\colon M\mapsto PM+MP}.
Soit {P\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}, avec P^2=P. Diagonalisabilité de {\Phi\colon M\mapsto PM+MP}.
Réduction endomorphisme matriciel
(Oral Ccp)
Soit {\varphi\colon{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K})\rightarrow{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K}),\;\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} d&a\\ b&c\end{pmatrix}}.
L’endomorphisme {\varphi} est-il diagonalisable ?
Soit {\varphi\colon{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K})\rightarrow{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K}),\;\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} d&a\\ b&c\end{pmatrix}}.
L’endomorphisme {\varphi} est-il diagonalisable ?
Endomorphisme et trace
Réduction d’endomorphisme matriciel
(Oral Centrale)
Soit A dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}. On étudie la diagonalisabilité, la trace, et le déterminant de l’endomorphisme \varphi de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} défini par {\varphi(M)=M + \text{tr}(AM)A^\top}.
Soit A dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}. On étudie la diagonalisabilité, la trace, et le déterminant de l’endomorphisme \varphi de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} défini par {\varphi(M)=M + \text{tr}(AM)A^\top}.
Endomorphisme et crochet de Lie
(Oral X-Cachan Psi)
Pour {A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} on pose {[A,B ] = AB -BA}.
On étudie {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))} tel que : {\forall (A,B),\;\varphi([A,B]) = [\varphi(A),B]}
Pour {A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} on pose {[A,B ] = AB -BA}.
On étudie {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))} tel que : {\forall (A,B),\;\varphi([A,B]) = [\varphi(A),B]}
Diagonalisation de M->AM+MB
(Oral X-Cachan Psi)
Soient {A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, diagonalisables dans \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}).
Soit \varphi_{A,B} l’endomorphisme de \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) défini \varphi_{A,B}(M)=AM+MB.
Dans cet exercice, on montre (de deux manières différentes) que l’endomorphisme \varphi_{A,B} est diagonalisable et on en donne une base de diagonalisation.
Soient {A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, diagonalisables dans \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}).
Soit \varphi_{A,B} l’endomorphisme de \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) défini \varphi_{A,B}(M)=AM+MB.
Dans cet exercice, on montre (de deux manières différentes) que l’endomorphisme \varphi_{A,B} est diagonalisable et on en donne une base de diagonalisation.