Réduction des endomorphismes

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr pour le chapitre de deuxième année « Réduction des endomorphismes ».

Endomorphisme et crochet de Lie

(Oral X-Cachan Psi)
Pour

{A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

on pose

{[A,B ] = AB -BA}

.
On étudie

{\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))}

tel que :

{\forall (A,B),\;\varphi([A,B]) = [\varphi(A),B]}

➡️

Diagonalisation de M->AM+MB

(Oral X-Cachan Psi)
Soient

{A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, diagonalisables dans

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

.
Soit

\varphi_{A,B}

l’endomorphisme de

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

défini

\varphi_{A,B}(M)=AM+MB

.
Dans cet exercice, on montre (de deux manières différentes) que l’endomorphisme

\varphi_{A,B}

est diagonalisable et on en donne une base de diagonalisation.

➡️

Un opérateur « valeur moyenne »

(Oral X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale)
Soit

{E}

l’ensemble des fonctions continues de

{\mathbb{R}^{+*}}

dans

{\mathbb{R}}

.
Soit

{T\colon E\rightarrow E}

, défini par

{T(f)(x)=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\text{d}t}

.
On étudie les éléments propres de

{T}

➡️

(Oral X-Cachan Psi)
On s’intéresse à la transmission d’un bit de donnée à travers une succession de convertisseurs indépendants. On observe la limite de la probabilité que le bit initial soit correctement transmis après

n

conversions.

➡️

Endomorphisme et polynômes

(Oral X-Cachan Psi)
Soient

{A,B}

dans

{\mathbb{C}[X]}

, avec

{A\ne0}

, avec

{\deg(B)= n+ 1}

. En fonction des racines de

A

, ou

B

, on étudie l’injectivité ou la diagonalisabilité de l’endomorphisme

{\varphi}

{\mathbb{C}_{n}[X]}

qui à

P

associe le reste dans la division de

{AP}

par

{B}

➡️

Trace et déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A}

dans

{\mathcal{M}_3(\mathbb{C})}

telle que

{\text{tr}(A)=\text{tr}(A^2)=0}

.
Montrer que

{\det(A^2+I_3)=1+(\det A)^2}

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Pas de sev stable de dim ≥ 1

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E={\mathcal C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})}

{\Phi\in\mathcal{L}(E)}

défini par

{\Phi(f): x\mapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\,\text{d}t}

. Montrer que

{\Phi}

ne stabilise aucun sous-espace de dimension finie

{n\ge1}

E

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Diagonalisation par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}

{B=}

{\begin{pmatrix}A&2A\\0&3A\end{pmatrix}}

.
À quelle condition

{B}

est-elle diagonalisable?

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Diagonalisation et blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

. On suppose que

{B=\begin{pmatrix}I_{n}&0_{n}\\ A&A\end{pmatrix}}

est diagonalisable. Montrer que

{A}

est diagonalisable et que

{I_{n}-A}

est inversible.

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Égalité AC=CB avec C de rang r

(Oral Centrale)
Soient

A, B,C\in\, \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})

avec

AC=CB

soit

r=\text{rg}(C)

. Montrer que

A,B

ont au moins

r

valeurs propres en commun (comptées avec leur ordre de multiplicité).

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