Régularité d’une série de fonctions
On étudie la régularité de {\displaystyle\sum\limits f_n}, où : {\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\forall\, x\in \mathbb{R}^+,f_n\left(x\right)=\dfrac{\text{e}^{-nx}}{(n+x)^2}}
Mathprepa Exercices corrigés
Séries de fonctions trigonométriques
On étudie la série de fonctions {\displaystyle\sum_{n\ge0} f_n}, où : {\forall\, x\in[0,\pi],\;f_n(x)=\sin x\,\cos^nx}
Série de fonctions, convergence, somme
Série de fonctions {\sum f_n} définie par : {\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\forall\, x\in \mathbb{R}^+,f_n\left(x\right)=n\, x^2\text{e}^{-nx}}
Séries numériques alternées
Six exercices sur le thème « séries alternées ».
Calculs de sommes de séries
Petits calculs de sommes de séries (sept exercices)
La constante d’Euler
Dans cet exercice, on voit la définition de la constante d’Euler \gamma, et le développement : {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}=\ln(n)+\gamma+\dfrac{1}{2n}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}.
Intérieur et adhérence dans un evn
Quatre exercices sur le thème « ouverts, fermés, intérieur, adhérence ».
Distances dans un evn
Deux exercices sur le thème « distances dans un espace vectoriel normé ».
Puissances de matrices carrées
Trois exercices sur le thème « puissances de matrices carrées ».
Normes matricielles
Cinq exercices sur le thème « normes matricielles ».
Boules ouvertes, boules fermées
Cinq exercices sur le thème « boules ouvertes ou fermées dans un evn ».
Ouverts et fermés dans un evn
Trois exercices sur le thème « ouverts ou fermés d’un espace vectoriel normé ».
Matrices symétriques, produits scalaires
Trois exercices sur le thème « Matrices symétriques et produits scalaires »
Matrices symétriques réelles
Six exercices simples sur le thème « matrices symétriques réelles ».
Morphismes pour le produit vectoriel
On se place dans {\mathbb{R}^3} euclidien orienté.
Trouver les endomorphismes {f} tels que : {\forall\; u,v\in \mathbb{R}^3,\;f(u\wedge v)=f(u)\wedge f(v)}
Trouver les endomorphismes {f} tels que : {\forall\; u,v\in \mathbb{R}^3,\;f(u\wedge v)=f(u)\wedge f(v)}
Rotations vectorielles du plan
Trois exercices sur le thème « rotations vectorielles du plan ».
Exercices sur le produit vectoriel
Quatre exercices sur le thème « produit vectoriel ».
Orthogonalité de M → AM
Soit {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} muni du produit scalaire {\left({A}\!\mid\!{B}\right)\!=\!\text{tr}({A}^{\!\top}B)}
Pour quelles matrices {M} l’application {A\mapsto AM} est-elle une isométrie?
Pour quelles matrices {M} l’application {A\mapsto AM} est-elle une isométrie?
Matrice orthogonale et inégalités
Soit {A=(a_{ij})} une matrice orthogonale d’ordre {n}.
Prouver que: {\displaystyle\sum_{i,j=1}^n\left|{a_{ij}}\right|\le n\sqrt n\;} et {\;\Bigl|\displaystyle\sum_{i,j=1}^na_{ij}\Bigr|\le n}
Prouver que: {\displaystyle\sum_{i,j=1}^n\left|{a_{ij}}\right|\le n\sqrt n\;} et {\;\Bigl|\displaystyle\sum_{i,j=1}^na_{ij}\Bigr|\le n}
Orthogonales et triangulaires à la fois
Montrer que dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, les seules matrices à la fois orthogonales et triangulaires sont les matrices diagonales à coefficients diagonaux égaux à {\pm 1}.