Intégration sur un segment 2

Exercices corrigés

Approximation par somme de Riemann

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R})}

{M_{n}(f)=\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\dfrac{k}{n}\right)}

Montrer que : ${\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\,\mathrm{d}t=M_{n}(f)+\dfrac{f(1)-f(0)}{2 n}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}$

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{F}

l’ensemble des fonctions

{f}

de classe

{\mathcal{C}^{1}}

sur

{[0,1]}

telles que

{f(0)=0}

{f(1)=1}

.
Montrer que :

{\forall\,f\!\in\!F,\displaystyle\int_{0}^{1}\!|f'(t)-f(t)|\,\text{d}t>\dfrac{1}{\text{e}}}

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{f(x)=\displaystyle\displaystyle\int_{x}^{x^{2}}\dfrac{\,\text{d}t}{\ln t}}

.
Montrer que

{f}

est prolongeable par continuité sur

{\mathbb{R}_{+}}

.
Montrer que ce prolongement est

{C^{\infty }}

sur

{\mathbb{R}_{+}^{\ast}}

mais pas sur

{\mathbb{R}_{+}}

(Oral Centrale Mp)
Approximants de Padé de exp(x)

On pose

{I(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-2x\cos(t)+x^{2})\,\text{d}t}

On calcule

{I(x)}

à l’aide de sommes de Riemann.

(Oral X-Cachan)
Résoudre dans

{\mathcal{C}^{0}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})}

{\forall x\in \mathbb{R},\;f(x)+\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,\text{d}t=1}