Intégrale de arctan(x tan(t))
(Oral Centrale) On étudie l’intégrale à paramètre {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\!\!\!\arctan(x \tan(t))\text{d}t}.
Calculs intégrales généralisées
Intégrale trigonométrique à paramètre
(Oral Mines-Ponts)
Un exercice très complet, pour calculer {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos (xt)}{1+t^{2}}\mathrm{d}t}.
Un exercice très complet, pour calculer {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos (xt)}{1+t^{2}}\mathrm{d}t}.
Intégrale et équation différentielle
(Oral Mines-Ponts)
On admet que {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t=\sqrt \pi}.
On pose {I(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{t x-t^{2}}\,\text{d}t}.
Montrer que {2I''(x)-x I'(x)-I(x)=0}.
En déduire {I(x)}.
Retrouver ce résultat par une méthode directe.
On admet que {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t=\sqrt \pi}.
On pose {I(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{t x-t^{2}}\,\text{d}t}.
Montrer que {2I''(x)-x I'(x)-I(x)=0}.
En déduire {I(x)}.
Retrouver ce résultat par une méthode directe.
Calcul d’une intégrale complexe
(Oral Mines-Ponts)
Calculer {T(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{i t x}-1}{t} e^{-t}\,\text{d}t}.
Calculer {T(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{i t x}-1}{t} e^{-t}\,\text{d}t}.
Calcul d’une intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts)
On pose {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\! \dfrac{\text{d}t}{\left(1+t^{2}\right)\left(1+t^{x}\right)}}.
Montrer que {F} est définie sur {\mathbb{R}^{+}}.
Calculer {F(0)} et {\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)}.
Calculer {F(x)} pour tout {x\gt0}.
On pose {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\! \dfrac{\text{d}t}{\left(1+t^{2}\right)\left(1+t^{x}\right)}}.
Montrer que {F} est définie sur {\mathbb{R}^{+}}.
Calculer {F(0)} et {\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)}.
Calculer {F(x)} pour tout {x\gt0}.
Une autre intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts)
Pour {x>1}, on pose : {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-x t} \dfrac{\,\text{sh} t}{t} \mathrm{d} t}.
Vérifier que {F} est définie.
Préciser {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)}. Calculer {F(x)}.
Pour {x>1}, on pose : {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-x t} \dfrac{\,\text{sh} t}{t} \mathrm{d} t}.
Vérifier que {F} est définie.
Préciser {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)}. Calculer {F(x)}.
Une intégrale d’intégrale
(Oral Mines-Ponts)
Soit {F : x \rightarrow \displaystyle\int_{x}^{+\infty} \dfrac{\sin t}{t^{2}}\,\text{d}t}.
Montrer que {F} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+^{*}}}.
Monrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!F(x)\,\text{d}x=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin u}{u}\mathrm{d}u}
Soit {F : x \rightarrow \displaystyle\int_{x}^{+\infty} \dfrac{\sin t}{t^{2}}\,\text{d}t}.
Montrer que {F} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+^{*}}}.
Monrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!F(x)\,\text{d}x=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin u}{u}\mathrm{d}u}
Une intégrale pas si complexe
(Oral Mines-Ponts)
Calculer {F(y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\!\!\dfrac{\text{d}x}{\left(1+x^{2}\right) \left(1+ixy\right)}}
Calculer {F(y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\!\!\dfrac{\text{d}x}{\left(1+x^{2}\right) \left(1+ixy\right)}}
Intégrale de (f(bx)-f(ax))/x sur R+
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f} une fonction continue et intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
Soient {a,b\in \mathbb{R}} tels que {0\lt a\lt b}.
Existence et valeur de {J\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\dfrac{f(bx)-f(ax)}{x}dx}
Soit {f} une fonction continue et intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
Soient {a,b\in \mathbb{R}} tels que {0\lt a\lt b}.
Existence et valeur de {J\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\dfrac{f(bx)-f(ax)}{x}dx}
Une intégrale généralisée
Trois méthodes pour calculer {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\text{e}^{-x}\sin(x)\text{d}x}
Dérivation d’intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine de {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{t}{t^{2}+x^{2}}\arctan \dfrac{1}{t}\text{d}t}.
Montrer que {f} est {\mathcal{C}^{1}}. Calculer {f'} puis {f}.
Domaine de {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{t}{t^{2}+x^{2}}\arctan \dfrac{1}{t}\text{d}t}.
Montrer que {f} est {\mathcal{C}^{1}}. Calculer {f'} puis {f}.
Calcul d’une intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1-\cos (tx)}{t^{2}(1+t^{2})}\,\text{d}t}
Montrer que {f} est {C^{2}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer {\vphantom{\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}}f(x)=\dfrac{\pi}{2}(e^{-x}+x-1)} sur {\mathbb{R}^{+}}.
Soit {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1-\cos (tx)}{t^{2}(1+t^{2})}\,\text{d}t}
Montrer que {f} est {C^{2}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer {\vphantom{\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}}f(x)=\dfrac{\pi}{2}(e^{-x}+x-1)} sur {\mathbb{R}^{+}}.
L’intégrale de Dirichlet
(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans cet exercice, on calcule {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\,\text{d}t}
Dans cet exercice, on calcule {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\,\text{d}t}
Intégrale généralisée en deux temps
(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine et continuité de {f(x)=\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\text{d}t}.
Convergence et calcul de {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(x)\text{d}x}
Domaine et continuité de {f(x)=\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\text{d}t}.
Convergence et calcul de {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(x)\text{d}x}
Calcul d’une intégrale généralisée
(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence et calcul de {I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}x}{\,\text{sh} (\sqrt{x})}}.
Existence et calcul de {I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}x}{\,\text{sh} (\sqrt{x})}}.
Étude de int(arctan(x tan(t)), t=0..π/2)
(Oral Centrale Mp)
Étude de l’intégrale à paramètre {f(x)=\displaystyle{\int_0^{\pi/2}\!\!\!\arctan(x \tan (t))\,\text{d}t}}
Étude de l’intégrale à paramètre {f(x)=\displaystyle{\int_0^{\pi/2}\!\!\!\arctan(x \tan (t))\,\text{d}t}}
J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (3/3)
(Oral Centrale Mp)
Étude de {J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta} (3/3)
Étude de {J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta} (3/3)
J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (2/3)
(Oral Centrale Mp)
{J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta} (2/3)
{J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta} (2/3)
J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (1/3)
(Oral Centrale Mp)
Étude de {J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta} (1/3)
Étude de {J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta} (1/3)
Une intégrale qui résiste
(Oral Centrale)
Calcul de l’intégrale {J=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln^2(1-x)}{x}\,\text{d}x}.
Calcul de l’intégrale {J=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln^2(1-x)}{x}\,\text{d}x}.
Petites intégrales généralisées (2/2)
Cinq calculs d’intégrales généralisées (2/2).
Petites intégrales généralisées (1/2)
Cinq calculs d’intégrales généralisées (1/2).
Calcul d’une intégrale à paramètre
Montrer : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-t^{2}}\cos(xt)\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\text{e}^{-x^{2}/4}}
Une intégrale généralisée (2/2)
Existence et calcul de {g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-t}-\text{e}^{-xt}}{t}\text{d}t}.
Une intégrale généralisée (1/2)
Existence et calcul de {I=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x}}{x}\,\text{d}x}.
Une intégrale « nulle »
Existence puis calcul de {\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\,\text{d}x}.
Intégrale de Lejeune-Dirichlet
Étudier la fonction {g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-xt}\dfrac{1-\cos(t)}{t^{2}}\,\text{d}t}.
En déduire {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}\,\text{d}t=\dfrac{\pi}{2}}.
En déduire {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}\,\text{d}t=\dfrac{\pi}{2}}.
Intégrale de Gauss
Dérivabilité de {g(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\text{e}^{-(1+t^{2})x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t}.
En déduire {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\text{e}^{-u^{2}}\,\text{d}u=\sqrt{\pi}}.
En déduire {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\text{e}^{-u^{2}}\,\text{d}u=\sqrt{\pi}}.
Intégrale généralisée « complexe »
Existence et calcul de l’intégrale {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{\text{e}^{t}-i}}.
Intégrale d’intégrale
(Oral Mines-Ponts)
Existence et calcul de {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl(\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t}\text{d}t\biggr)\text{d}x}.
Existence et calcul de {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl(\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t}\text{d}t\biggr)\text{d}x}.
Calcul d’une intégrale
(Oral Ensam)
Existence et calcul de l’intégrale {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x-1}{\ln(x)}\text{d}x}.
Existence et calcul de l’intégrale {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x-1}{\ln(x)}\text{d}x}.
Une intégrale à paramètre
(Oral Ensam)
Étudier {x\mapsto F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\arctan (xt)}{t(1+t^2)}\,\text{d}t}
Étudier {x\mapsto F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\arctan (xt)}{t(1+t^2)}\,\text{d}t}