Exercices sur le produit vectoriel
Quatre exercices sur le thème « produit vectoriel ».
Espaces euclidiens
Orthogonalité de M → AM
Soit {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} muni du produit scalaire {\left({A}\!\mid\!{B}\right)\!=\!\text{tr}({A}^{\!\top}B)}
Pour quelles matrices {M} l’application {A\mapsto AM} est-elle une isométrie?
Pour quelles matrices {M} l’application {A\mapsto AM} est-elle une isométrie?
Matrice orthogonale et inégalités
Soit {A=(a_{ij})} une matrice orthogonale d’ordre {n}.
Prouver que: {\displaystyle\sum_{i,j=1}^n\left|{a_{ij}}\right|\le n\sqrt n\;} et {\;\Bigl|\displaystyle\sum_{i,j=1}^na_{ij}\Bigr|\le n}
Prouver que: {\displaystyle\sum_{i,j=1}^n\left|{a_{ij}}\right|\le n\sqrt n\;} et {\;\Bigl|\displaystyle\sum_{i,j=1}^na_{ij}\Bigr|\le n}
Orthogonales et triangulaires à la fois
Montrer que dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, les seules matrices à la fois orthogonales et triangulaires sont les matrices diagonales à coefficients diagonaux égaux à {\pm 1}.
Deux isométries de l’espace
(Oral Ccp)
Identifier {\dfrac13\begin{pmatrix} 1&-2&2\\ -2&1&2\\ 2&2&1\end{pmatrix}} et {\dfrac19\begin{pmatrix}8&1&-4\\-4&4&-7\\1&8&4\end{pmatrix}}
Identifier {\dfrac13\begin{pmatrix} 1&-2&2\\ -2&1&2\\ 2&2&1\end{pmatrix}} et {\dfrac19\begin{pmatrix}8&1&-4\\-4&4&-7\\1&8&4\end{pmatrix}}
Matrice de projection orthogonale
Matrice de la projection orthogonale de {\mathbb{R}^{4}} sur {F:\begin{cases}x+y+z+t=0\\x-y+z-t=0\end{cases}}
Équation M2-M+MT=In
Une matrice symétrique positive
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {f\colon[0,1]\to\mathbb{R}^+} continue. Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {a_{ij}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{i+j-2}f(t)\,\text{d}t}. Montrer que {\text{Sp}(A)\subset\mathbb{R}^+}.
Soit {f\colon[0,1]\to\mathbb{R}^+} continue. Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {a_{ij}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{i+j-2}f(t)\,\text{d}t}. Montrer que {\text{Sp}(A)\subset\mathbb{R}^+}.
Réduction d’une matrice symétrique
(Oral Ccp)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {a_{i,i}=4} et {a_{i,j}=1} si {i\ne j}.
Diagonaliser A dans le groupe orthogonal.
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {a_{i,i}=4} et {a_{i,j}=1} si {i\ne j}.
Diagonaliser A dans le groupe orthogonal.
Un endomorphisme symétrique
(Oral Ccp)
On se place dans {\mathbb{R}_{n}[X]}, muni de {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}PQ}.
Soit {\varphi\,\colon P\mapsto(2X\!-\!1)P'\!+\!(X^{2}\!-\!X)P''}.
Montrer que {\varphi} est symétrique.
On se place dans {\mathbb{R}_{n}[X]}, muni de {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}PQ}.
Soit {\varphi\,\colon P\mapsto(2X\!-\!1)P'\!+\!(X^{2}\!-\!X)P''}.
Montrer que {\varphi} est symétrique.
Identifier une transformation de ℝ³
(Oral Ccp)
Transformation associée à {M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\-2&1&-2\\-1&2&2\end{pmatrix}}?
Transformation associée à {M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\-2&1&-2\\-1&2&2\end{pmatrix}}?
Minimum de (f(x)|x)
(Oral Ccp)
Soit f un endomorphisme symétrique de E euclidien.
On caractérise les vecteurs x unitaires qui minimisent \bigl(f(x)\mid x\bigr).
Soit f un endomorphisme symétrique de E euclidien.
On caractérise les vecteurs x unitaires qui minimisent \bigl(f(x)\mid x\bigr).
Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]
On munit {\mathbb{R}_{n}[X]} de {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{2}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Étudier l’endomorphisme {P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}.
Étudier l’endomorphisme {P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}.
M → AM-MA avec A symétrique réelle
(Oral Tpe)
Soient {A \in S_{n}(\mathbb{R})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))} défini par : {\varphi(M) = AM -MA}. Former une base orthonormale de diagonalisation de {\varphi}. Que vaut {\text{rg}(\varphi)}?
Soient {A \in S_{n}(\mathbb{R})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))} défini par : {\varphi(M) = AM -MA}. Former une base orthonormale de diagonalisation de {\varphi}. Que vaut {\text{rg}(\varphi)}?
Un endomorphisme symétrique
(Oral Tpe)
Soit u un vecteur unitaire de {E} euclidien, et soit {a \in\mathbb{R}^{*}}.
On étudie l’endomorphisme {f_{a}} de E défini par {f(x)= x + a\left({u}\mid{x}\right)u}.
Soit u un vecteur unitaire de {E} euclidien, et soit {a \in\mathbb{R}^{*}}.
On étudie l’endomorphisme {f_{a}} de E défini par {f(x)= x + a\left({u}\mid{x}\right)u}.
Inégalité entre trace et rang
(Oral Ccem)
Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que {\text{tr}(A)^{2}\le \text{rg}(A)\,\text{tr}(A^{2})}.
Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que {\text{tr}(A)^{2}\le \text{rg}(A)\,\text{tr}(A^{2})}.
Matrices telles que : A AT A = In
(Oral Ensea)
Chercher les matrices {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} telles que {A\,{A}^{\top}A = I_{n}}. Et dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}?
Chercher les matrices {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} telles que {A\,{A}^{\top}A = I_{n}}. Et dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}?
A nilpotente réelle commutant avec AT
(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Déterminer {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} nilpotente et telle que {A^{\top}A=A\,A^{\top}}.
Déterminer {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} nilpotente et telle que {A^{\top}A=A\,A^{\top}}.
Endomorphisme et produit vectoriel
(Oral Mines-Ponts)
Soit {u} dans {E} euclidien orienté de dimension {3}.
Déterminer les {f\in\mathcal{L}(E)} tels que {x\wedge u} et f(x) sont liés pour tout {x\in E}.
Soit {u} dans {E} euclidien orienté de dimension {3}.
Déterminer les {f\in\mathcal{L}(E)} tels que {x\wedge u} et f(x) sont liés pour tout {x\in E}.
Réflexions conjuguées
(Oral Mines-Ponts)
Soient {H_{1}, H_{2}} deux hyperplans de {E} euclidien. On note {s_{i}} la réflexion par rapport à {H_{i}}.
Montrer que {s_{1}s_{2}=s_{2}s_{3}}, où {s_{3}} est la réflexion par rapport à {H_{3}=s_2(H_1)}.
Soient {H_{1}, H_{2}} deux hyperplans de {E} euclidien. On note {s_{i}} la réflexion par rapport à {H_{i}}.
Montrer que {s_{1}s_{2}=s_{2}s_{3}}, où {s_{3}} est la réflexion par rapport à {H_{3}=s_2(H_1)}.