Identifier une transformation de ℝ³
(Oral Ccp)
Transformation associée à {M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\-2&1&-2\\-1&2&2\end{pmatrix}}?
Transformation associée à {M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\-2&1&-2\\-1&2&2\end{pmatrix}}?
Espaces euclidiens
Minimum de (f(x)|x)
(Oral Ccp)
Soit f un endomorphisme symétrique de E euclidien.
On caractérise les vecteurs x unitaires qui minimisent \bigl(f(x)\mid x\bigr).
Soit f un endomorphisme symétrique de E euclidien.
On caractérise les vecteurs x unitaires qui minimisent \bigl(f(x)\mid x\bigr).
Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]
On munit {\mathbb{R}_{n}[X]} de {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{2}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Étudier l’endomorphisme {P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}.
Étudier l’endomorphisme {P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}.
M → AM-MA avec A symétrique réelle
(Oral Tpe)
Soient {A \in S_{n}(\mathbb{R})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))} défini par : {\varphi(M) = AM -MA}. Former une base orthonormale de diagonalisation de {\varphi}. Que vaut {\text{rg}(\varphi)}?
Soient {A \in S_{n}(\mathbb{R})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))} défini par : {\varphi(M) = AM -MA}. Former une base orthonormale de diagonalisation de {\varphi}. Que vaut {\text{rg}(\varphi)}?
Un endomorphisme symétrique
(Oral Tpe)
Soit u un vecteur unitaire de {E} euclidien, et soit {a \in\mathbb{R}^{*}}.
On étudie l’endomorphisme {f_{a}} de E défini par {f(x)= x + a\left({u}\mid{x}\right)u}.
Soit u un vecteur unitaire de {E} euclidien, et soit {a \in\mathbb{R}^{*}}.
On étudie l’endomorphisme {f_{a}} de E défini par {f(x)= x + a\left({u}\mid{x}\right)u}.
Inégalité entre trace et rang
(Oral Ccem)
Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que {\text{tr}(A)^{2}\le \text{rg}(A)\,\text{tr}(A^{2})}.
Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que {\text{tr}(A)^{2}\le \text{rg}(A)\,\text{tr}(A^{2})}.
Matrices telles que : A AT A = In
(Oral Ensea)
Chercher les matrices {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} telles que {A\,{A}^{\top}A = I_{n}}. Et dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}?
Chercher les matrices {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} telles que {A\,{A}^{\top}A = I_{n}}. Et dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}?
A nilpotente réelle commutant avec AT
(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Déterminer {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} nilpotente et telle que {A^{\top}A=A\,A^{\top}}.
Déterminer {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} nilpotente et telle que {A^{\top}A=A\,A^{\top}}.
Endomorphisme et produit vectoriel
(Oral Mines-Ponts)
Soit {u} dans {E} euclidien orienté de dimension {3}.
Déterminer les {f\in\mathcal{L}(E)} tels que {x\wedge u} et f(x) sont liés pour tout {x\in E}.
Soit {u} dans {E} euclidien orienté de dimension {3}.
Déterminer les {f\in\mathcal{L}(E)} tels que {x\wedge u} et f(x) sont liés pour tout {x\in E}.
Réflexions conjuguées
(Oral Mines-Ponts)
Soient {H_{1}, H_{2}} deux hyperplans de {E} euclidien. On note {s_{i}} la réflexion par rapport à {H_{i}}.
Montrer que {s_{1}s_{2}=s_{2}s_{3}}, où {s_{3}} est la réflexion par rapport à {H_{3}=s_2(H_1)}.
Soient {H_{1}, H_{2}} deux hyperplans de {E} euclidien. On note {s_{i}} la réflexion par rapport à {H_{i}}.
Montrer que {s_{1}s_{2}=s_{2}s_{3}}, où {s_{3}} est la réflexion par rapport à {H_{3}=s_2(H_1)}.
Trace et matrices orthogonales
(Oral Ccp)
Si {\Omega\in O(n)} et {S\in S_{n}(\mathbb{R})}, avec {\text{Sp}(S)\subset\mathbb{R}^{+}}, alors {\text{tr}(\Omega S)\le\text{tr}(S)}.
Si {\Omega\in O(n)} et {S\in S_{n}(\mathbb{R})}, avec {\text{Sp}(S)\subset\mathbb{R}^{+}}, alors {\text{tr}(\Omega S)\le\text{tr}(S)}.
Trace et endomorphismes symétriques
(Oral CCInp)
Si f,g sont symétriques positifs, alors {0\le \text{tr}(gf)\le \text{tr}(g)\text{tr}(f)}.
Si f,g sont symétriques positifs, alors {0\le \text{tr}(gf)\le \text{tr}(g)\text{tr}(f)}.
Produit scalaire et déterminant
(Oral Ccp)
Soit {A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que : {\forall x\in\mathbb{R},\;1 +\left(x \mid A^{-1}x\right) =\dfrac{\det(x\,{x}^{\top}+A)}{\det(A)}}.
Soit {A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que : {\forall x\in\mathbb{R},\;1 +\left(x \mid A^{-1}x\right) =\dfrac{\det(x\,{x}^{\top}+A)}{\det(A)}}.
Valeurs propres extrémales
Réduction d’une matrice symétrique
(Oral Mines-Ponts)
Diagonaliser {A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} où {a_{i,j}=1} si {i\ne j}, et {a_{i,i}=i}.
Diagonaliser {A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} où {a_{i,j}=1} si {i\ne j}, et {a_{i,i}=i}.
Une symétrie orthogonale
(Oral Centrale)
Soit {F\subset\mathbb{R}^{4}} d’équations {\begin{cases}x - y - z + t = 0\\2x - z - t = 0\end{cases}}
Déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à {F}.
Soit {F\subset\mathbb{R}^{4}} d’équations {\begin{cases}x - y - z + t = 0\\2x - z - t = 0\end{cases}}
Déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à {F}.
Conservation du volume
Dans {E} euclidien de dimension {n}, soit {d\in\{1,\ldots,n\}}.
Si {x\in E^d} est liée, on pose {m(x) =0}.
Sinon, soit {\mathcal{B}} une base orthonormale de {\text{Vect}(x)}.
On pose alors {m(x) =\left|\det_{\mathcal{B}}(x)\right|}.
Soit {X_{d}} l’ensemble des endomorphismes de E tels que :
{\forall x\in E^{d},\; m(f(x_{1}),\ldots,f(x_{d})) = m(x)}L’objectif de l’exercice est de prouver que {X_{d}=O(E)}
Si {x\in E^d} est liée, on pose {m(x) =0}.
Sinon, soit {\mathcal{B}} une base orthonormale de {\text{Vect}(x)}.
On pose alors {m(x) =\left|\det_{\mathcal{B}}(x)\right|}.
Soit {X_{d}} l’ensemble des endomorphismes de E tels que :
{\forall x\in E^{d},\; m(f(x_{1}),\ldots,f(x_{d})) = m(x)}L’objectif de l’exercice est de prouver que {X_{d}=O(E)}
Matrices de trace nulle (bis!)
(Oral Centrale)
Soit {M} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {n\ge1}, telle que {\text{tr}(M)=0}.
Montrer qu’il existe {P\in O(n)} telle que {P^{\top}MP} soit de diagonale nulle.
Soit {M} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {n\ge1}, telle que {\text{tr}(M)=0}.
Montrer qu’il existe {P\in O(n)} telle que {P^{\top}MP} soit de diagonale nulle.
Somme de projecteurs orthogonaux
(Oral Centrale)
Soient {p} et {q} deux projecteurs orthogonaux d’un espace euclidien {E}.
1. Montrer que le polynôme caractéristique de {u = p + q} est scindé.
2. Montrer que {\text{Sp}(u)\subset[0,2]}.
3. Déterminer {\text{Ker}(u)} et {\text{Ker}(u - 2\text{Id})}.
Soient {p} et {q} deux projecteurs orthogonaux d’un espace euclidien {E}.
1. Montrer que le polynôme caractéristique de {u = p + q} est scindé.
2. Montrer que {\text{Sp}(u)\subset[0,2]}.
3. Déterminer {\text{Ker}(u)} et {\text{Ker}(u - 2\text{Id})}.