Déterminants
Exercices corrigés sur le thème « déterminants » pour les classes de Sup Mpsi Pcsi, et Spé Mp, Pc, Psi (posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)

Déterminant positif, par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A, B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

{M=\begin{pmatrix}A&-B\\ B&A\end{pmatrix}}

.
Montrer que

{\det(M)\ge 0}

➡️

Conditions impliquant det(x A + y B)=0

](Oral Mines-Ponts)
Soit

{A,B\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}

, avec

{\det(A)=\det(B)=\det(A\!+\!B)=\det(A\!-\!B)=0}

.
Calculer

{\det(xA+yB)}

pour tous réels

{x,y}

➡️

Un déterminant tridiagonal

(Oral Mines-Ponts)
On définit

{M_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

par

{m_{i,i}=\dfrac{a}{b}}

{m_{i,i+1}=a}

{m_{i+1,i}=\dfrac{1}{b}}

(et

{0}

sinon).
Calculer le déterminant

\Delta_n

{M_{n}}

➡️

Déterminant et Chebyshev

Soit

{M = (\cos(p\!-\!1)t_{q})_{1\le p,q\le n}}

. Calculer

{\det(M)}

➡️

Calcul d’un déterminant d’ordre n

(Oral Mines-Ponts)
Calculer

{\det(M)}

, pour

{M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

, avec

{m_{i,j}=\dfrac{a_{i}}{a_{j}}+\dfrac{a_{j}}{a_{i}}}

➡️

Produit scalaire et déterminant

(Oral Ccp)
Soit

{A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}

. Montrer que :

{\forall x\in\mathbb{R},\;1 +\left(x \mid A^{-1}x\right) =\dfrac{\det(x\,{x}^{\top}+A)}{\det(A)}}

➡️

Calcul de déterminant en Python

(Oral Centrale)
Soit

{A_n=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}}

avec

{a_{i,j}=(-1)^{\max(i,j)}}

. Calculer

{\det(A_n)}

➡️

Deux déterminants reliés

(Oral X-Cachan)
Avec

A,M

dans

\mathcal{M}_4(\mathbb{K})

, on calcule

AM

\det(A)

pour en déduire

\det(M)

➡️

Égalité matricielle et déterminant

(Oral Ensam)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

telle que

{A^3+A-I_n=0}

. Montrer que

{\det(A)>0}

➡️

Le cousin de Vandermonde

(Oral Centrale)
Soit

{(a,b,c,d)\in\mathbb{K}^4}

. Calculer le déterminant

{\begin{vmatrix}1&a&a^2&a^4\\1&b&b^2&b^4\\1&c&c^2&c^4\\1&d&d^2&d^4\end{vmatrix}}

➡️

Déterminant et coefficients binomiaux

(Oral Ensam)
Soit

{A\in {\mathcal M}_{p+1}(\mathbb{R})}

où

{a_{i,j} =\dbinom{m+i}{j}}

.
Calculer

{\det(A)}

➡️

Matrices par blocs

(Oral X-Cachan Psi)
Pour toute matrice

{P}

{{\mathcal M}_{p}(\mathbb{K})}

, on montre qu’il existe une matrice diagonale

{J}

, avec des coefficients

{\pm1}

sur sa diagonale, telle que

{\det (P+J)\ne 0}

➡️

Un déterminant et un polynôme

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{a_1,\cdots ,a_n\in\mathbb{C}}

distincts.
Calculer :

{P_n(x)=\begin{vmatrix}x & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & x & a_3 & & \vdots \\ \vdots & a_2 &x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &a_n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}&x\end{vmatrix}\quad}

➡️

Trace et déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A}

dans

{\mathcal{M}_3(\mathbb{C})}

telle que

{\text{tr}(A)=\text{tr}(A^2)=0}

.
Montrer que

{\det(A^2+I_3)=1+(\det A)^2}

➡️

Déterminant variable ?

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{n}

un entier positif pair, et soit

A

antisymétrique dans

{\mathcal M}_n(\mathbb{R})

. Soit

J

la matrice de

{\mathcal M}_n(\mathbb{R})

dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Étudier la fonction

{t\in\mathbb{R}\mapsto\det( A+tJ)}

➡️

Un calcul de déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a,b,c)\in(\mathbb{R}^{+*})^3}

avec

{a+b+c=\pi}

.
Calculer

{\det(A)}

, avec

{A=\begin{pmatrix} 1 & \cos(a) & \tan(a/2) \\ 1 & \cos(b) & \tan(b/2) \\ 1 & \cos(c) & \tan(c/2)\end{pmatrix}}

➡️