Produits de Cauchy
Six exercices sur le thème « Produit de Cauchy de séries entières ».
Séries numériques
Séries numériques alternées
Six exercices sur le thème « séries alternées ».
Calculs de sommes de séries
Petits calculs de sommes de séries (sept exercices)
La constante d’Euler
Dans cet exercice, on voit la définition de la constante d’Euler \gamma, et le développement : {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}=\ln(n)+\gamma+\dfrac{1}{2n}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}.
D’Alembert (ou pas)
Préciser la nature de {\displaystyle\sum u_n} et {\displaystyle\sum v_n}, où : {\begin{array}{rl}u_{n}&=\dfrac{2\cdot5\cdot8\cdots(3n\!-\!1)}{1\cdot5\cdot9\cdots(4n\!-\!3)}\\\\v_{n}&=\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\end{array}}
Intégrales de Wallis hyperboliques
(Oral Centrale)
On étudie {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\,\text{sh}^n(t)\,\text{d}t} où \text{sh}(\alpha)=1
(calcul approché avec Python, relation de récurrence, limite, équivalent, séries…)
On étudie {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\,\text{sh}^n(t)\,\text{d}t} où \text{sh}(\alpha)=1
(calcul approché avec Python, relation de récurrence, limite, équivalent, séries…)
Sommes harmoniques et séries
(Oral Ccp)
On calcule {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}}}.
On calcule {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}}}.
Suite implicite et série
(Oral Ccp)
Soit u_n l’unique solution réelle de nx^{3}+n^{2}x=2.
Étudier {(u_{n})_{n\ge1}}, puis la convergence de {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_{n}^{\alpha}} selon {\alpha}.
Soit u_n l’unique solution réelle de nx^{3}+n^{2}x=2.
Étudier {(u_{n})_{n\ge1}}, puis la convergence de {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_{n}^{\alpha}} selon {\alpha}.
Deux sommes de séries numériques
(Oral Ccp)
Calculer {\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(1+\dfrac{2}{n(n\!+\!3)}\Bigr)}, et {\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(\cos\Bigl(\dfrac{x}{2^{n}}\Bigr)\Bigr)} pour {-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}}
Calculer {\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(1+\dfrac{2}{n(n\!+\!3)}\Bigr)}, et {\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(\cos\Bigl(\dfrac{x}{2^{n}}\Bigr)\Bigr)} pour {-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}}
Équivalents et séries numériques
(Oral Ccp)
Équivalent de {v_{n}=\displaystyle\sum_{q=n}^{+\infty}\dfrac{1}{q^{\alpha}}}, puis nature de {\displaystyle\sum \dfrac{v_{n^{2}}}{v_{n}}}.
Équivalent de {v_{n}=\displaystyle\sum_{q=n}^{+\infty}\dfrac{1}{q^{\alpha}}}, puis nature de {\displaystyle\sum \dfrac{v_{n^{2}}}{v_{n}}}.
Nature de ∑sin(2πen!)
(Oral Mines-Ponts)
Soit {R_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}\dfrac{1}{k!}}. Montrer {\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n\!+\!1)!R_{n}=1}.
Préciser la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\sin (2\pi\text{e}\,n!)}.
Soit {R_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}\dfrac{1}{k!}}. Montrer {\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n\!+\!1)!R_{n}=1}.
Préciser la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\sin (2\pi\text{e}\,n!)}.
Suite récurrente, calculs asymptotiques
(Oral Centrale)
Soit {x_{0}>0} et : {\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}.
On demande un développement asymptotique à deux termes de {x_n} en {+\infty}.
Soit {x_{0}>0} et : {\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}.
On demande un développement asymptotique à deux termes de {x_n} en {+\infty}.
La somme des 1/k^2
(Oral Mines-Ponts)
Une méthode classique, avec du calcul intégral, pour obtenir la valeur de {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.
Une méthode classique, avec du calcul intégral, pour obtenir la valeur de {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.
Somme d’une série numérique
Étude d’une suite récurrente
(Oral Mines-Ponts)
Étudier la suite définie par u_1\gt0 et : {\forall n\ge1,\;u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+nu_{n}^{2}}}.
Étudier la suite définie par u_1\gt0 et : {\forall n\ge1,\;u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+nu_{n}^{2}}}.
Une limite de somme
(Oral Mines-Ponts)
Soit {p \in\mathbb{R}}. Étudier la suite {n\mapsto S_{n}(p) = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{1+k^{p}}}.
Soit {p \in\mathbb{R}}. Étudier la suite {n\mapsto S_{n}(p) = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{1+k^{p}}}.
Suite implicite et série
(Oral Ccp)
Soit u_n l’unique solution positive de {x^{n}\!+\!x\sqrt{n}\!-\!1\!=\!0}.
Étudier (u_n), puis {\displaystyle\sum u_{n}} et {\displaystyle\sum(-1)^{n}u_{n}}.
Soit u_n l’unique solution positive de {x^{n}\!+\!x\sqrt{n}\!-\!1\!=\!0}.
Étudier (u_n), puis {\displaystyle\sum u_{n}} et {\displaystyle\sum(-1)^{n}u_{n}}.
Nature d’une série numérique
Somme d’une série alternée
(Oral Centrale)
Convergence et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)}.
Convergence et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)}.