Probabilités, variables aléatoires

On trouvera ici les exercices corrigés du site www.mathprepa.fr pour le chapitre de deuxième année « Probabilités, variables aléatoires ».

Quatre pions sur trois cases

On dispose au hasard quatre pions sur trois cases (assez grandes pour contenir tous les pions).
Quelle est la probabilité qu’une case au moins soit vide?

Formule du crible

Trois exercices sur le thème « formule du crible ».

Somme de probabilités

Soit

{A,B,C}

trois événements. Simplifier :

{\mathbb{P}(A\cup B)\!+\!\mathbb{P}(\overline{A}\cup B)\!+\!\mathbb{P}(A\cup\overline{B})\!+\!\mathbb{P}(\overline{A}\cup\overline{B})\!=3\!}

Ensuite on généralise ce résultat.

Unions dénombrables

Un exercice sur les unions ou intersections dénombrables d’ensembles

Ensembles non dénombrables

Trois exercices sur le thème « ensembles non dénombrables ».

Un jeton et quatre cases

(Oral Centrale 2018)
Un jeton se déplace aléatoirement sur quatre cases, selon un protocole particulier.
On demande une simulation de l’expérience avec Python.
On diagonalise la matrice de transition, pour étudier la probabilité que le jeton se trouve sur telle ou telle case à la date

{n}

quand

{n\to+\infty}

Deux suites de tirages monocolores

(Oral Mines-Ponts 2018)
Une urne contient une proportion

{p\in\,]0,1[}

de boules blanches et le reste de boules noires.
On effectue des tirages successifs avec remise.
On note

{X_1,X_2}

les longueurs des deux premières suites monocolores.
Donner la loi de

{X_1}

, son espérance, sa variance.
Donner la loi du couple

{(X_1,X_2)}

.
En déduire la loi de

{X_2}

, son espérance, sa variance.

Promenade aléatoire sur ℤ

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(X_{n})_{n\geq 1}}

des v.a.r. indépendantes telles que :

{X_n(\Omega)\!=\!\{-1,1\}\;\text{et}\;\mathbb{P}(X_{i}\!=\!1)\!=\!\mathbb{P}(X_{i}\!=\!-1)\!=\!\dfrac{1}{2}}

Montrer que

{S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}}

prend presque sûrement une infinité de fois la valeur

{k}

.

Le plus petit numéro tiré

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans une urne de

{N}

boules numérotées de

{1}

à

{N}

, on réalise

{n}

tirages avec remise. On note

{X_{N}}

le plus petit numéro tiré. Calculer

{E(X_{N})}

puis un équivalent de

{V(X_N)}

quand

{N\to+\infty}

.

Probabilité et Cauchy-Schwarz

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{X}

une v.a.r positive de variance non nulle.
Montrer que, pour tout

{\lambda \in\,]0,1[}

:

{\mathbb{P}(X\geq \lambda E(X))\geq (1-\lambda )^{2}\dfrac{E(X)^{2}}{E(X^{2})}}

Probabilité d’être un projecteur

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(X_{1},\ldots,X_{n})}

des v.a.r. indépendantes, de loi

{\mathcal{B}(p)}

.
Donner la loi du rang et de la trace de

{M=(X_{i}X_{j})_{1\leq i,j\leq n}}

.
Quelle est la probabilité que

{M}

représente un projecteur ?

Un événement négligeable

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(X_{n})_{n}}

des v.a.r indépendantes de loi

{\mathcal{B}(p)}

.
Soit

{A_{n}=(X_{n}=\ldots=X_{2n-1}=1)}

.
Soit

{I}

l’événement « une infinité de

{A_{n}}

sont réalisés ».
Montrer que

{\mathbb{P}(I)=0}

.

Convergence en probabilité

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans cet exercice, on étudie la notion de convergence en probabilité pour une suite de variables aléatories réelles.

Probabilité de diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{Y\!:\Omega\to\mathbb{Z}}

avec

{\begin{cases}\mathbb{P}(Y\!=\!k)\!=\!\mathbb{P}(Y\!=\!-k)\\|Y|\leadsto\mathcal{P}(\lambda)\end{cases}}

.
Donner la loi du rang

{R}

de

{A=\begin{pmatrix}0 & Y & 1 \\ Y & 0 & 1 \\ Y & 1 & 0\end{pmatrix}}

Probabilité que

{A}

soit diagonalisable?

Différence de lois binomiales

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{X,Y}

deux v.a.r. indépendantes suivant

{\mathcal{B}(n,\frac{1}{2})}

.
Donner la loi, l’espérance et la variance de

{Z\!=\!X\!-\!Y}

.
Calculer

{\text{Cov}(X,Z)}

et leur coefficient de corrélation.

Un tirage géométrique avec remise

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{N}

une v.a.r telle que

{N+1\leadsto\mathcal{G}(p)}

.
Dans urne contenant une boule bleue et une boule verte, on effectue

{N}

tirages avec remise.
Trouver la loi du nombre

{X}

de boules vertes tirées.

Distance entre deux lois géométriques

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{X,Y}

deux v.a.r. indépendantes de loi

{\mathcal{G}(p)}

.
Loi et espérance de

{Z=|X-Y|}

.

Série de lois de Poisson indépendantes

(Mines-Ponts 2018)
On se donne les v.a.r. indépendantes

{(X_{n})_{n\geq 1}}

.
On suppose que

{X_n\!\leadsto\!\mathcal{P}(\lambda_n)}

et que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}\lambda_{n}}

converge.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}{X_{n}}\!\leadsto\!\mathcal{P}\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda_k\Bigr)}

Indépendance de X⁺ et X^–

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{X}

une variable telle que

{X(\Omega )=\mathbb{Z}}

.
On pose

{X^{+}=\max (X,0)}

et

{X^{-}=\min (X,0)}

.

{X^+,X^-}

sont-elles indépendantes ?

Loi d’une somme de v.a.r

(Oral Mines-Ponts 2018)
On demande la loi de la somme de

{n}

v.a.r. indépendantes de même loi.