Étude de la série des 1/n^z
(Oral Centrale 2018)
Déterminer une CNS sur {z\in\mathbb{C}} pour que {\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^{z}}}converge.
Déterminer une CNS sur {z\in\mathbb{C}} pour que {\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^{z}}}converge.
Mathprepa Exercices corrigés
Produits infinis
(Oral Centrale 2018)
Soit {(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+*})^{\mathbb{N}}}. On pose {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}a_{k}}.
On dit que le produit (infini) {\displaystyle\prod_{k\ge0}a_{k}} converge si la suite {(P_{n})} converge dans {\mathbb{R}^{+*}}.
Établir des conditions pour qu’un produit infini converge.
Soit {(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+*})^{\mathbb{N}}}. On pose {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}a_{k}}.
On dit que le produit (infini) {\displaystyle\prod_{k\ge0}a_{k}} converge si la suite {(P_{n})} converge dans {\mathbb{R}^{+*}}.
Établir des conditions pour qu’un produit infini converge.
Une suite implicite paramétrée
(Oral Centrale 2018)
Soit {f_{n}(t)=\dfrac{e^{t}}{1+t^{n}}\;\text{et}\;\Phi _{n}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f_{n}(t)\text{d}t}
Étudier la convergence de {(f_{n})}. Montrer :
{\forall\,\alpha >0,\;\exists\,!\;x_{n}(\alpha )\in\mathbb{R}^{+},\;\Phi _{n}(x_{n}(\alpha ))=\alpha}Étudier {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_{n}(\alpha)}.
Soit {f_{n}(t)=\dfrac{e^{t}}{1+t^{n}}\;\text{et}\;\Phi _{n}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f_{n}(t)\text{d}t}
Étudier la convergence de {(f_{n})}. Montrer :
{\forall\,\alpha >0,\;\exists\,!\;x_{n}(\alpha )\in\mathbb{R}^{+},\;\Phi _{n}(x_{n}(\alpha ))=\alpha}Étudier {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_{n}(\alpha)}.
Deux suites d’intégrales
(Oral Centrale 2018)
On pose {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\cos\Bigl(\dfrac{t}{n}\Bigr)\dfrac{\,\text{d}t}{{t}^{n}+t^{2}+1}}.
De même, soit {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{t}{n}\Bigr)\dfrac{n\,\text{d}t}{t^{n}+t^{2}+1}}.
Déterminer les limites de {(I_{n})} et {(J_{n})}.
On pose {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\cos\Bigl(\dfrac{t}{n}\Bigr)\dfrac{\,\text{d}t}{{t}^{n}+t^{2}+1}}.
De même, soit {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{t}{n}\Bigr)\dfrac{n\,\text{d}t}{t^{n}+t^{2}+1}}.
Déterminer les limites de {(I_{n})} et {(J_{n})}.
Somme d’une série alternée
(Oral Centrale 2018)
Donner un équivalente de {S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=3}^{n}\dfrac{\ln k}{k}}.
Montrer que la suite {n\mapsto u_{n}=S_{n}-\dfrac{\ln ^{2}(n)}{2}} converge.
Calculer {T=\displaystyle\sum_{k=3}^{+\infty}(-1)^k\dfrac{\ln(k)}{k}} (en fonction de la constante d’Euler)
Donner un équivalente de {S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=3}^{n}\dfrac{\ln k}{k}}.
Montrer que la suite {n\mapsto u_{n}=S_{n}-\dfrac{\ln ^{2}(n)}{2}} converge.
Calculer {T=\displaystyle\sum_{k=3}^{+\infty}(-1)^k\dfrac{\ln(k)}{k}} (en fonction de la constante d’Euler)
Orthogonalité de M ⟼ P-1MP
(Oral Centrale 2018)
On munit {\mathbb{R}^n} et {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} de leur produit scalaire canonique.
Trouver les {P\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})} telles que {M\mapsto P^{-1}MP} soit une isométrie.
On munit {\mathbb{R}^n} et {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} de leur produit scalaire canonique.
Trouver les {P\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})} telles que {M\mapsto P^{-1}MP} soit une isométrie.
Matrice ortho-trigonalisable
(Oral Centrale 2018)
Soit {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {\chi_{M}} scindé dans {\mathbb{R}[X]}. Montrer qu’il existe {R\in O(n)} telle que {R^{T} MR} soit triangulaire supérieure.
Soit {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {\chi_{M}} scindé dans {\mathbb{R}[X]}. Montrer qu’il existe {R\in O(n)} telle que {R^{T} MR} soit triangulaire supérieure.
Racine carrée de matrice symétrique
(Oral Centrale 2018)
Soit {M\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})} et {\{\mu_{1},\ldots,\mu_{p}\}} ses valeurs propres distinctes. Montrer : {\exists\,P\in\mathbb{R}_{p-1}[X],\;P(M)^{2}=M}.
Soit {M\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})} et {\{\mu_{1},\ldots,\mu_{p}\}} ses valeurs propres distinctes. Montrer : {\exists\,P\in\mathbb{R}_{p-1}[X],\;P(M)^{2}=M}.
Matrice et inégalité « à la Bessel »
(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {\|AX\|\leq \|X\|} pour tout {X}.
Soit {X\in E} et {Y=A^{T}X}. Montrer que {(A^{T}X\mid Y)=\|Y\|^{2}} et {\|Y\|\leq\|X\|}.
On suppose qu’il existe {X\in E} tel que {AX=X}. Montrer que {A^{T}X=X}.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {\|AX\|\leq \|X\|} pour tout {X}.
Vecteurs obtusangles
(Oral Centrale 2018)
Dans {\mathbb{R}^n}, soit {v_{1}\ldots,v_{n+1}} avec {(v_{i}\mid v_{j})=-1} si {i\neq j}.
Soit {w_{1},\ldots,w_{n+1}} tels que {(v_{i}\mid v_{j})=(w_{i}\mid w_{j})} pour tous {i,j}. Montrer qu’il existe un unique {u\in O(\mathbb{R^n})} tel que {u(v_{i})=w_{i}} pour tout {i}.
Dans {\mathbb{R}^n}, soit {v_{1}\ldots,v_{n+1}} avec {(v_{i}\mid v_{j})=-1} si {i\neq j}.
Soit {w_{1},\ldots,w_{n+1}} tels que {(v_{i}\mid v_{j})=(w_{i}\mid w_{j})} pour tous {i,j}. Montrer qu’il existe un unique {u\in O(\mathbb{R^n})} tel que {u(v_{i})=w_{i}} pour tout {i}.
Produit de Kronecker
(Oral Centrale 2018)
Dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} on pose :{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ quand\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}Montrer que {F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}.
Donner le rang, la trace, le déterminant de {F(A,B)}.
A-t-on {A,B} diagonalisables {\Rightarrow F(A,B)} diagonalisable? Réciproque?
Dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} on pose :{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ quand\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}Montrer que {F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}.
Donner le rang, la trace, le déterminant de {F(A,B)}.
A-t-on {A,B} diagonalisables {\Rightarrow F(A,B)} diagonalisable? Réciproque?
Puissances de A à spectre simple
(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} admettant {n} valeurs propres distinctes. Montrer qu’il existe {\begin{cases}(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})\in\mathbb{R}^n\\M_{1},\ldots,M_{n}\in\textrm{Vect}(I_{n},A,A^{2},\ldots,A^{n-1})\end{cases}}
tels que : {\forall p\in\mathbb{N},\;A^{p}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha _{k}^{p}M_{k}}.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} admettant {n} valeurs propres distinctes. Montrer qu’il existe {\begin{cases}(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})\in\mathbb{R}^n\\M_{1},\ldots,M_{n}\in\textrm{Vect}(I_{n},A,A^{2},\ldots,A^{n-1})\end{cases}}
tels que : {\forall p\in\mathbb{N},\;A^{p}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha _{k}^{p}M_{k}}.
Nilpotence et trace des puissances
(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} avec {\mathrm{tr}(A^{k})=0} pour tout {k\ge1}.
Montrer que {A} est nilpotente (deux méthodes).
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} avec {\mathrm{tr}(A^{k})=0} pour tout {k\ge1}.
Montrer que {A} est nilpotente (deux méthodes).
Polynôme annulateur et trace
(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in \mathcal M_n(\mathbb{R})} telle que {(A+3I_n)(A^{2}+A+I_n)=0}.
Montrer que {\mathrm{tr}(A)\in\Z^{-*}}.
Soit {A\in \mathcal M_n(\mathbb{R})} telle que {(A+3I_n)(A^{2}+A+I_n)=0}.
Montrer que {\mathrm{tr}(A)\in\Z^{-*}}.
Équations matricielles
(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {A^{3}=I_{3}}, et {b\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.
Résoudre l’équation {Ax=x-b} où {x\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {A^{3}=I_{3}}, et {b\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.
Résoudre l’équation {Ax=x-b} où {x\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.
Réduction d’endo. nilpotent
(Oral Centrale 2018)
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}, avec {\dim(E)=3n}.
On suppose {v^{3}=0}, {v^{2}\neq 0} et {\mathrm{rg} (v)=2n}.
Montrer que {\text{Ker}(v)\subset \text{Im}(v^2)}.
Former une base où {v} a pour matrice {\begin{pmatrix}0_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ I_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & I_{n} & 0_{n}\end{pmatrix}}
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}, avec {\dim(E)=3n}.
On suppose {v^{3}=0}, {v^{2}\neq 0} et {\mathrm{rg} (v)=2n}.
Montrer que {\text{Ker}(v)\subset \text{Im}(v^2)}.
Former une base où {v} a pour matrice {\begin{pmatrix}0_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ I_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & I_{n} & 0_{n}\end{pmatrix}}
Racines carrées d’une matrice
(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} triangulaire supérieure de diagonale {1,2,\ldots,n}.
L’équation {M^{2}=A} admet-elle des solutions ? Combien ?
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} triangulaire supérieure de diagonale {1,2,\ldots,n}.
L’équation {M^{2}=A} admet-elle des solutions ? Combien ?
Polynômes à valeurs positives
(Oral Centrale 2018)
Soit {P\in\mathbb{C}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}}. Montrer que {P\in\mathbb{R}[X]}.
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. On pose {Q=\displaystyle\sum\limits_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que {Q(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. Réciproque?
Soit {P\in\mathbb{C}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}}. Montrer que {P\in\mathbb{R}[X]}.
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. On pose {Q=\displaystyle\sum\limits_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que {Q(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. Réciproque?
Tangente hyperbolique complexe
(Oral Centrale 2018)
Définissons, pour tout {z\in\mathbb{C}}: {\text{ch}(z)=\dfrac{e^{z}\!+\!e^{-z}}{2},\,\text{sh}(z)=\dfrac{e^{z}\!-\!e^{-z}}{2i},\,\text{th}(z)=\dfrac{\,\text{sh}(z)}{\,\text{ch}(z)}}Déterminer le domaine de {\mathrm{th}}. Résoudre {\mathrm{th}(z)=0}.
Résoudre {|\text{Im}(z)|\lt \dfrac{\pi}{2}} et {|\mathrm{th}(z)|\lt 1}.
Définissons, pour tout {z\in\mathbb{C}}: {\text{ch}(z)=\dfrac{e^{z}\!+\!e^{-z}}{2},\,\text{sh}(z)=\dfrac{e^{z}\!-\!e^{-z}}{2i},\,\text{th}(z)=\dfrac{\,\text{sh}(z)}{\,\text{ch}(z)}}Déterminer le domaine de {\mathrm{th}}. Résoudre {\mathrm{th}(z)=0}.
Résoudre {|\text{Im}(z)|\lt \dfrac{\pi}{2}} et {|\mathrm{th}(z)|\lt 1}.
Deux suites de tirages monocolores
(Oral Mines-Ponts 2018)
Une urne contient une proportion {p\in\,]0,1[} de boules blanches et le reste de boules noires.
On effectue des tirages successifs avec remise.
On note {X_1,X_2} les longueurs des deux premières suites monocolores.
Donner la loi de {X_1}, son espérance, sa variance.
Donner la loi du couple {(X_1,X_2)}.
En déduire la loi de {X_2}, son espérance, sa variance.
Une urne contient une proportion {p\in\,]0,1[} de boules blanches et le reste de boules noires.
On effectue des tirages successifs avec remise.
On note {X_1,X_2} les longueurs des deux premières suites monocolores.
Donner la loi de {X_1}, son espérance, sa variance.
Donner la loi du couple {(X_1,X_2)}.
En déduire la loi de {X_2}, son espérance, sa variance.