Intégrale de exp(-x^4)cos(xt)
(Oral Centrale) On étudie l’intégrale à paramètre {f(t)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\!\!\text{e}^{-x^4}\cos(xt)\,\text{d}x}
Suites d’intégrales généralisées
Série de fonctions et intégrales
(Oral Centrale) On définit une suite de polynômes (de Hilbert), et la suite {a_n} de leurs intégrales sur {[0,1]}. Par des techniques d’intégration et de séries, on calcule un équivalent de {a_n}.
Convergence d’une suite d’intégrales
(Oral Centrale)
Sous certaines hypothèses sur la suite {(g_n)}, et pour {f} de classe {\mathcal{C}^1} sur {[0,1]}, on calcule {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}f(x)g_{n}(x)dx}.
Sous certaines hypothèses sur la suite {(g_n)}, et pour {f} de classe {\mathcal{C}^1} sur {[0,1]}, on calcule {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}f(x)g_{n}(x)dx}.
Une suite implicite paramétrée
(Oral Centrale 2018)
Soit {f_{n}(t)=\dfrac{e^{t}}{1+t^{n}}\;\text{et}\;\Phi _{n}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f_{n}(t)\text{d}t}
Étudier la convergence de {(f_{n})}. Montrer :
{\forall\,\alpha >0,\;\exists\,!\;x_{n}(\alpha )\in\mathbb{R}^{+},\;\Phi _{n}(x_{n}(\alpha ))=\alpha}Étudier {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_{n}(\alpha)}.
Soit {f_{n}(t)=\dfrac{e^{t}}{1+t^{n}}\;\text{et}\;\Phi _{n}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f_{n}(t)\text{d}t}
Étudier la convergence de {(f_{n})}. Montrer :
{\forall\,\alpha >0,\;\exists\,!\;x_{n}(\alpha )\in\mathbb{R}^{+},\;\Phi _{n}(x_{n}(\alpha ))=\alpha}Étudier {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_{n}(\alpha)}.
Deux suites d’intégrales
(Oral Centrale 2018)
On pose {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\cos\Bigl(\dfrac{t}{n}\Bigr)\dfrac{\,\text{d}t}{{t}^{n}+t^{2}+1}}.
De même, soit {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{t}{n}\Bigr)\dfrac{n\,\text{d}t}{t^{n}+t^{2}+1}}.
Déterminer les limites de {(I_{n})} et {(J_{n})}.
On pose {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\cos\Bigl(\dfrac{t}{n}\Bigr)\dfrac{\,\text{d}t}{{t}^{n}+t^{2}+1}}.
De même, soit {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{t}{n}\Bigr)\dfrac{n\,\text{d}t}{t^{n}+t^{2}+1}}.
Déterminer les limites de {(I_{n})} et {(J_{n})}.
Équivalent d’une suite d’intégrales
(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence de {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin (nt)}{1+n^{5}t^{3}}\,\text{d}t}.
Donner {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_{n}} et un équivalent simple de {I_{n}}.
Existence de {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin (nt)}{1+n^{5}t^{3}}\,\text{d}t}.
Donner {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_{n}} et un équivalent simple de {I_{n}}.
Intégrale et constante d’Euler
(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que {I_n=\displaystyle\int_{0}^{n}\left(1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}\ln(x)\,\text{d}x} tend vers {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\ln (x)\,\text{d}x=-\gamma}.
Montrer que {I_n=\displaystyle\int_{0}^{n}\left(1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}\ln(x)\,\text{d}x} tend vers {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\ln (x)\,\text{d}x=-\gamma}.
Polynômes orthogonaux
(Oral Centrale)
On étudie une famille de polynômes orthogonaux pour {(f\mid g)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)\varphi(t)\,\text{d}t}On montre qu’ils sont scindés simples sur {\mathbb{R}}.
On étudie une famille de polynômes orthogonaux pour {(f\mid g)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)\varphi(t)\,\text{d}t}On montre qu’ils sont scindés simples sur {\mathbb{R}}.
Équivalents d’intégrales
Équivalents en {+\infty} de {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{\cos(t)}{1+n^{2}t^{2}}\text{d}t} et {K_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{\text{e}^{-nt}}{1+t^{2}}\text{d}t}.
Théorème de convergence dominée
Six exercices d’application du théorème de convergence dominée.
Intégrales de Wallis et Futuna
On étudie les intégrales {F_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{\text{d}t}{\,\text{ch}^{n}(t)}}.
Limites d’intégrales généralisées
(Oral Ccp)
Existence de {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\arctan(t)}{t^{3/2}+t^{n}}\,\text{d}t}.
Calcul de {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}J_n}.
Existence de {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\arctan(t)}{t^{3/2}+t^{n}}\,\text{d}t}.
Calcul de {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}J_n}.
Suite d’intégrales à paramètre
(Oral X-Cachan)
Soit {\varphi\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, continue et bornée. On pose : {\varphi_{n}(x) = \dfrac{n}{\sqrt\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(y)\,\text{e}^{-n^{2}(x-y)^{2}}\,\text{d}y}.
On montre que les {\varphi_{n}} sont {{\mathcal C}^{1}} et CVS vers {\varphi}.
Soit {\varphi\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, continue et bornée. On pose : {\varphi_{n}(x) = \dfrac{n}{\sqrt\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(y)\,\text{e}^{-n^{2}(x-y)^{2}}\,\text{d}y}.
On montre que les {\varphi_{n}} sont {{\mathcal C}^{1}} et CVS vers {\varphi}.
Suite d’intégrales et série
(Oral Ccp)
1. Intégrabilité des {f_{n}\,\colon x\to \dfrac{x^{2n+1}\ln(x)}{x^{2}-1}} sur {]0,1[}.
On note {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,\text{d}x}. Déterminer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}I_{n}}.
2. Montrer que {I_{n}=\displaystyle\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.
En déduire un équivalent de {I_{n}}.
1. Intégrabilité des {f_{n}\,\colon x\to \dfrac{x^{2n+1}\ln(x)}{x^{2}-1}} sur {]0,1[}.
On note {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,\text{d}x}. Déterminer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}I_{n}}.
2. Montrer que {I_{n}=\displaystyle\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.
En déduire un équivalent de {I_{n}}.