Espaces vectoriels normés

On trouvera ici les exercices corrigés du site Mathprepa pour le chapitre de deuxième année « Espaces vectoriels normés ».

Inégalités entre distances

Soit {x,y,z,t} quatre vecteurs d’un espace vectoriel normé E. Montrer que :
{\begin{array}{rl}\left\|{x\!-\!t}\right\|+\left\|{y\!-\!z}\right\|&\le\left\|{x\!-\!y}\right\|+\left\|{y\!-\!t}\right\|\\[6pts]&\quad+\left\|{t\!-\!z}\right\|+\left\|{z\!-\!x}\right\|\end{array}}

Question de point fixe

(Oral Centrale)
Soit {E} un espace vectoriel normé de dim finie.
Soit {K\subset E} un fermé borné non vide.
Soit {f:K\rightarrow K} telle que : {x\ne y\Rightarrow\|f(x)-f(y)\|\lt \|x-y\|}1. Montrer : {\exists\,!\,c\in K,\;f(c)=c}.
2. Soit {x_0\in K} et : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;x_{n+1}=f(x_n)}.
\quadMontrer que {(x_n)_{n\ge0}} converge vers {c}.

Exp(A), avec A antisymétrique

(Oral X-Cachan Psi)
Soit {A =\begin{pmatrix}0&-c&b\\ c& 0& a\\-b&-a&0\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}.
1. Montrer : {\exists\theta\in\mathbb{R},\;A^{3}=-\theta A}.
2. Montrer : {\forall\, n\in\,\mathbb{N}^{*},\;A^{2n}=(-\theta)^{n-1}A^{2}}.
3. On pose {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}A^{k}}.
Montrer que {S_{\infty}= \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}} existe.
Calculer {(\alpha,\beta) \in\,\mathbb{R}^{2}} tel que {S_{\infty} = I_{3} + \alpha A + \beta A^{2}}.