Matrices symétriques positives

Exercices corrigés

SAS définie positive ?

(Oral Mines-Ponts) Soit

{A}

dans

{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

{S}

dans

{\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}

. Montrer : (

{SAS}

symétrique définie positive)

{\Leftrightarrow}

(

{A}

symétrique définie positive, et

{S}

inversible).

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in S_{n}(\mathbb{R})}

, définie positive.
Montrer que, pour tout

{X\in \mathbb{R}^{n}}

{\| X\|^{4}\leq (X^{\top}AX)(X^{\top}A^{-1}X)}

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E}

euclidien et

{u\in S^{+}(E)}

l’ensemble des endomorphismes symétriques à spectre inclus dans

{\mathbb{R}^{+}}

Soit

{u}

{v\in S^{+}(E)}

. Montrer que

{\text{Ker}(u+v)=\text{Ker}(u)\cap\text{Ker}(v)}

{\text{Im}\,(u+v)=\text{Im}\,(u)+\text{Im}\,(v)}

(Oral Centrale Mp)
Équation matricielle AM+MA=B, avec A,B symétriques définies positives.

(Oral Centrale Mp)
Dans

{\mathbb{R}^n}

, résolution de

{Ax=b}

par la méthode du gradient à pas constants.

(Oral X-Cachan)
Un exercice sur le produit de Hadamard dans

{S_n^+(\mathbb{R})}

Trois exercices sur le thème “Matrices symétriques et produits scalaires”

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{f\colon[0,1]\to\mathbb{R}^+}

continue. Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{a_{ij}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{i+j-2}f(t)\,\text{d}t}

. Montrer que

{\text{Sp}(A)\subset\mathbb{R}^+}