Matrices symétriques positives

On trouvera ici les exercices corrigés de mathprepa.fr issus du chapitre « Espaces euclidiens », dans la catégorie « Matrices symétriques positives ».

Matrices symétriques congruentes

(Oral Centrale) Dans cet exercice, on montre que toute matrice symétrique réelle dont les sous-matrices principales sont à déterminant strictement positif est congruente à une matrice diagonale à coefficients strictement positifs (sans recours au théorème spectral bien sûr).

Somme des distances à une droite

(Oral Centrale) Dans cet exercice, on voit comment déterminer la droite qui minimise la somme des carrés des distances à une famille donnée de

{p}

points.

Polynômes scindés simples

(Oral Centrale). On détermine des conditions nécessaires pour qu’un polynôme à coefficients réels soit scindé simple.

SAS définie positive ?

(Oral Mines-Ponts) Soit

{A}

dans

{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

et

{S}

dans

{\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}

. Montrer : (

{SAS}

symétrique définie positive)

{\Leftrightarrow}

(

{A}

symétrique définie positive, et

{S}

inversible).

Inverse d’une matrice définie positive

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in S_{n}(\mathbb{R})}

, définie positive.
Montrer que, pour tout

{X\in \mathbb{R}^{n}}

:

{\| X\|^{4}\leq (X^{\top}AX)(X^{\top}A^{-1}X)}

Ker(u+v) et Im(u+v) pour u,v dans S⁺(E)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E}

euclidien et

{u\in S^{+}(E)}

l’ensemble des endomorphismes symétriques à spectre inclus dans

{\mathbb{R}^{+}}

Soit

{u}

,

{v\in S^{+}(E)}

. Montrer que

{\text{Ker}(u+v)=\text{Ker}(u)\cap\text{Ker}(v)}

et

{\text{Im}\,(u+v)=\text{Im}\,(u)+\text{Im}\,(v)}

.

Équation matricielle AM+MA=B

(Oral Centrale Mp)
Équation matricielle AM+MA=B, avec A,B symétriques définies positives.

Méthode du gradient à pas constant

(Oral Centrale Mp)
Dans

{\mathbb{R}^n}

, résolution de

{Ax=b}

par la méthode du gradient à pas constants.

Produit de Hadamard dans S_n,+(ℝ)

(Oral X-Cachan)
Un exercice sur le produit de Hadamard dans

{S_n^+(\mathbb{R})}

Matrices symétriques, produits scalaires

Trois exercices sur le thème « Matrices symétriques et produits scalaires »

Une matrice symétrique positive

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{f\colon[0,1]\to\mathbb{R}^+}

continue. Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{a_{ij}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{i+j-2}f(t)\,\text{d}t}

. Montrer que

{\text{Sp}(A)\subset\mathbb{R}^+}

.