SAS définie positive ?
(Oral Mines-Ponts) Soit {A} dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} et {S} dans {\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}. Montrer : ({SAS} symétrique définie positive) {\Leftrightarrow} ({A} symétrique définie positive, et {S} inversible).
Matrices symétriques positives
Inverse d’une matrice définie positive
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})}, définie positive.
Montrer que, pour tout {X\in \mathbb{R}^{n}} : {\| X\|^{4}\leq (X^{\top}AX)(X^{\top}A^{-1}X)}
Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})}, définie positive.
Montrer que, pour tout {X\in \mathbb{R}^{n}} : {\| X\|^{4}\leq (X^{\top}AX)(X^{\top}A^{-1}X)}
Ker(u+v) et Im(u+v) pour u,v dans S+(E)
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {E} euclidien et {u\in S^{+}(E)} l’ensemble des endomorphismes symétriques à spectre inclus dans {\mathbb{R}^{+}}
Soit {u}, {v\in S^{+}(E)}. Montrer que {\text{Ker}(u+v)=\text{Ker}(u)\cap\text{Ker}(v)} et {\text{Im}\,(u+v)=\text{Im}\,(u)+\text{Im}\,(v)}.
Soit {E} euclidien et {u\in S^{+}(E)} l’ensemble des endomorphismes symétriques à spectre inclus dans {\mathbb{R}^{+}}
Soit {u}, {v\in S^{+}(E)}. Montrer que {\text{Ker}(u+v)=\text{Ker}(u)\cap\text{Ker}(v)} et {\text{Im}\,(u+v)=\text{Im}\,(u)+\text{Im}\,(v)}.
Équation matricielle AM+MA=B
(Oral Centrale Mp)
Équation matricielle AM+MA=B, avec A,B symétriques définies positives.
Équation matricielle AM+MA=B, avec A,B symétriques définies positives.
Méthode du gradient à pas constant
(Oral Centrale Mp)
Dans {\mathbb{R}^n}, résolution de {Ax=b} par la méthode du gradient à pas constants.
Dans {\mathbb{R}^n}, résolution de {Ax=b} par la méthode du gradient à pas constants.
Produit de Hadamard dans Sn,+(ℝ)
Matrices symétriques, produits scalaires
Trois exercices sur le thème « Matrices symétriques et produits scalaires »
Une matrice symétrique positive
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {f\colon[0,1]\to\mathbb{R}^+} continue. Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {a_{ij}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{i+j-2}f(t)\,\text{d}t}. Montrer que {\text{Sp}(A)\subset\mathbb{R}^+}.
Soit {f\colon[0,1]\to\mathbb{R}^+} continue. Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {a_{ij}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{i+j-2}f(t)\,\text{d}t}. Montrer que {\text{Sp}(A)\subset\mathbb{R}^+}.