Compléments d’algèbre linéaire

Exercices corrigés du chapitre de deuxième année « Compléments d’algèbre linéaire » (Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Inp, Ensam, etc.)

Une équation matricielle

(Oral Centrale)
Soient

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

{E_{A}=\{X\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),AXA=0\}}

.
Déterminer

{\dim (E_{A})}

en fonction du rang de

{A}

➡️

Vandermonde, le retour

(Oral École Navale)
Calculer

{\det(M)}

, où

{m_{i,j}=j(a_{i}^{j-2}+a_{i}^{j-1})}

{2\le j\le n}

, et

{m_{i1}=1}

➡️

Matrices par blocs et semblables

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{N_{1}\in{\mathcal M}_{p_{1}}(\mathbb{K})}

{N_{2}\in{\mathcal M}_{p_{2}}(\mathbb{K})}

, nilpotentes.
Soit

{U_{1}\in\text{GL}_{q_{1}}(\mathbb{K})}

{U_{2}\in\text{GL}_{q_{2}}(\mathbb{K})}

.
On pose

{A=\begin{pmatrix}N_{1}&0\\ 0&U_{1}\end{pmatrix}}

{B=\begin{pmatrix}N_{2}&0\\ 0&U_{2}\end{pmatrix}}

.
Montrer que

{A\sim B\Leftrightarrow\begin{cases}p_{1}=p_{2}\\q_{1}=q_{2}\end{cases}}

{\begin{cases}N_{1}\sim N_{2}\\U_{1}\sim U_{2}\end{cases}}

➡️

Déterminant positif, par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A, B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

{M=\begin{pmatrix}A&-B\\ B&A\end{pmatrix}}

.
Montrer que

{\det(M)\ge 0}

➡️

Conditions impliquant det(x A + y B)=0

](Oral Mines-Ponts)
Soit

{A,B\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}

, avec

{\det(A)=\det(B)=\det(A\!+\!B)=\det(A\!-\!B)=0}

.
Calculer

{\det(xA+yB)}

pour tous réels

{x,y}

➡️

Projecteur p vérifiant u = pu – up ?

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u}

un endomorphisme d’un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

{E}

.
À quelle condition existe-t-il un projecteur

{p}

{E}

vérifiant

{u= pu-up\,}

➡️

Commutant d’un nilpotent

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u \in{\mathcal L}(E)}

, avec

\dim(E)=n

. On suppose

{u^{n}=0}

{u^{n-1}\ne0}

. Déterminer les sous-espaces vectoriels de

{E}

stables par

{u}

. Déterminer

{\mathcal{C}(u)=\{f\in {\mathcal L}(E),\;fu=uf\}}

.
Quelle est sa dimension?

➡️

Un déterminant tridiagonal

(Oral Mines-Ponts)
On définit

{M_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

par

{m_{i,i}=\dfrac{a}{b}}

{m_{i,i+1}=a}

{m_{i+1,i}=\dfrac{1}{b}}

(et

{0}

sinon).
Calculer le déterminant

\Delta_n

{M_{n}}

➡️

Déterminant et Chebyshev

Soit

{M = (\cos(p\!-\!1)t_{q})_{1\le p,q\le n}}

. Calculer

{\det(M)}

➡️

Isomorphisme entre L(E) et E^n

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel de dimension

{n\in\mathbb{N}^{*}}

. Soit

{(e_{k})_{1\le k\le n}}

dans

{E}

.
Soit

{\varphi\colon{\mathcal L}(E)\rightarrow E^{n}}

défini par

{\varphi(u)=(u(e_{1}),\ldots,u(e_{n}))}

. Montrer que

{\varphi}

est linéaire, et que c’est un isomorphisme si et seulement si

{(e_{k})_{1\le k\le n}}

est une base de

{E}

➡️

Si AB=BA et B nilpotente, alors…

(Oral Centrale)
Soit

{A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

, avec

{B}

nilpotente et

{AB=BA}

. Montrer l’équivalence :
(

{A}

inversible)

{\Leftrightarrow}

(

{A+B}

inversible).

➡️

Un espace d’applications linéaires

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E,F}

deux

{\mathbb{C}}

-ev, où

{\dim(E)=n}

{\dim(F)=p}

, et

{f\in{\mathcal L}(E,F)}

. Préciser

{\dim(H)}

, où

{H=\{g\in{\mathcal L}(F,E),\;fgf=0\}}

➡️

Matrices réelles semblables dans Mn(ℂ)

(Oral Tpe)
Si deux matrices réelles

A,B

sont semblables dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

, elles le sont dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Matrices nilpotentes de même rang

(Oral Centrale)
Soient

{A,B\in {\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

, de même rang, telles que

{A^k=B^k=0}

. Si

k=2

, montrer que

A,B

sont semblables. Et si

k=3

➡️

Recherche de sous-espaces stables

(Oral Ccp)
Soit

{u\in\mathcal{L}(\R^3)}

canoniquement relié à

{\begin{pmatrix}3&1&2\\1&1&0\\-1&1&2\end{pmatrix}}

Décrire les sous-espaces stables par

{u}

➡️

Caractérisation de tr(A)=0

(oral Centrale)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

. Montrer :

{\text{tr}(A)=0\Leftrightarrow \exists\, U,V\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\;A=UV-VU}

➡️

Le commutant de GLn(ℂ)

(Oral Centrale)
Déterminer les matrices

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

telles que :

{\forall M\in\text{G}L_n(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}

➡️

Trace de M → AMB

(Oral Ensam)
Soient

{A,B}

dans

{{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

.
Calculer la trace de

\Phi\colon M\mapsto AMB

➡️

Racine de matrice nilpotente

(Oral Ensam)
Existe-t-il

{B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{K})}

telle que

{B^2=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}}

➡️

Déterminant et coefficients binomiaux

(Oral Ensam)
Soit

{A\in {\mathcal M}_{p+1}(\mathbb{R})}

où

{a_{i,j} =\dbinom{m+i}{j}}

.
Calculer

{\det(A)}

➡️