Matrices semblables de rang 1 ou 2
(Oral Centrale) On s’intéresse à deux endomorphismes {u,v} de {E}, de même rang 1 ou 2. On étudie des conditions suffisantes pour que{u,v} soient semblables.
Noyau, rang, image
Groupes d’endomorphismes de même rang
(Oral Centrale). On considère un sous-groupe quelconque de {\mathcal{L}(E)}, où {E} est un {\mathbb{K}}-espace de dimension finie. On vérifie que ses éléments ont le même rang. On étudie le cas particulier du groupe des permutations des vecteurs d’une base de {E}.
Essouflement des noyaux
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)}. On note {\begin{cases}n_k=\dim\text{Ker} (u^k)\\ d_k=n_{k+1}-n_{k}\end{cases}}
Montrer que {(d_k)} est décroissante.
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)}. On note {\begin{cases}n_k=\dim\text{Ker} (u^k)\\ d_k=n_{k+1}-n_{k}\end{cases}}
Montrer que {(d_k)} est décroissante.
Connaissant AB, calculer BA
(Oral Centrale)
Soient {A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})} et {B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}.
On suppose que {AB =\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\1&1&2\end{pmatrix}}.
Calculer {BA}.
Soient {A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})} et {B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}.
On suppose que {AB =\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\1&1&2\end{pmatrix}}.
Calculer {BA}.
Opérateur Delta sur les polynômes
(Oral Centrale)
Sur {\mathbb{R}_{n}[X]}, avec {n\ge1}, on pose {\Delta(P(X))=P(X+1)-P(X)}Montrer que {\Delta} est nilpotent. En déduire : {\forall\, P\in\mathbb{R}_{n-1}[X],\;\displaystyle\displaystyle\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j} P(X\!+\!j)=0}
Sur {\mathbb{R}_{n}[X]}, avec {n\ge1}, on pose {\Delta(P(X))=P(X+1)-P(X)}Montrer que {\Delta} est nilpotent. En déduire : {\forall\, P\in\mathbb{R}_{n-1}[X],\;\displaystyle\displaystyle\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j} P(X\!+\!j)=0}
Moyenne des itérés de u quand um = Id
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} tel que {u^{m}=\text{Id}} et {p=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}u^k}.
Montrer que {p^2=p} et
{\dim \text{Ker}(u-\text{Id})=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{m-1}\text{tr}(u^{k})}.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} tel que {u^{m}=\text{Id}} et {p=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}u^k}.
Montrer que {p^2=p} et
{\dim \text{Ker}(u-\text{Id})=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{m-1}\text{tr}(u^{k})}.
Polynômes dérivés successifs
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}. À quelle condition a-t-on:
{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}
Soit {(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}. À quelle condition a-t-on:
{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}
Rang d’une matrice à paramètre
Calculer le rang de {A=}{\begin{pmatrix}a^2 & a & 2 & 2a \\a & a^2 & 2a & 2 \\2 & 2a & a^2 & a \\2a & 2 & a & a^2\end{pmatrix}}
Petit lemme des noyaux
Soit {f\in\mathcal{L}(E)} et {\alpha\ne\beta} dans {\mathbb{K}}. Montrer que:
{\begin{array}{l}\text{Ker}(f^2-(\alpha+\beta)f+\alpha\beta\text{Id})\\[3pts]\quad=\text{Ker}(f-\alpha\text{Id})\oplus\text{Ker}(f-\beta\text{Id})\end{array}}
{\begin{array}{l}\text{Ker}(f^2-(\alpha+\beta)f+\alpha\beta\text{Id})\\[3pts]\quad=\text{Ker}(f-\alpha\text{Id})\oplus\text{Ker}(f-\beta\text{Id})\end{array}}
Endomorphismes tels que f3 = Id
Dans un espace vectoriel E sur {\mathbb{K}}, on caractérise les endomorphismes f tels que {f^3=\text{Id}} par des sommes directes.
Carré d’une matrice de rang ≤ 1
(Oral Ccp)
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}, avec {\text{rg}(A)\le 1}.
Montrer que {A^2=\text{tr}(A)A}.
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}, avec {\text{rg}(A)\le 1}.
Montrer que {A^2=\text{tr}(A)A}.
Une équation matricielle
(Oral Centrale)
Soient {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} et {E_{A}=\{X\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),AXA=0\}}.
Déterminer {\dim (E_{A})} en fonction du rang de {A}.
Soient {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} et {E_{A}=\{X\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),AXA=0\}}.
Déterminer {\dim (E_{A})} en fonction du rang de {A}.
Un espace d’applications linéaires
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E,F} deux {\mathbb{C}}-ev, où {\dim(E)=n} et {\dim(F)=p}, et {f\in{\mathcal L}(E,F)}. Préciser {\dim(H)}, où {H=\{g\in{\mathcal L}(F,E),\;fgf=0\}}.
Soit {E,F} deux {\mathbb{C}}-ev, où {\dim(E)=n} et {\dim(F)=p}, et {f\in{\mathcal L}(E,F)}. Préciser {\dim(H)}, où {H=\{g\in{\mathcal L}(F,E),\;fgf=0\}}.
Recherche de sous-espaces stables
(Oral Ccp)
Soit {u\in\mathcal{L}(\R^3)} canoniquement relié à {\begin{pmatrix}3&1&2\\1&1&0\\-1&1&2\end{pmatrix}}
Décrire les sous-espaces stables par {u}
Soit {u\in\mathcal{L}(\R^3)} canoniquement relié à {\begin{pmatrix}3&1&2\\1&1&0\\-1&1&2\end{pmatrix}}
Décrire les sous-espaces stables par {u}
Rang et inégalités
(Oral Ensam)
Soient {E} et {F} deux espaces vectoriels de dimension finie et {f,g\in{\mathcal L}(E,F)}. Montrer que
{|\text{rg}(f)-\text{rg}(g)|\le\text{rg}(f + g)\le\text{rg}(f) + \text{rg}(g)}.
Soient {E} et {F} deux espaces vectoriels de dimension finie et {f,g\in{\mathcal L}(E,F)}. Montrer que
{|\text{rg}(f)-\text{rg}(g)|\le\text{rg}(f + g)\le\text{rg}(f) + \text{rg}(g)}.
Rang d’une matrice par blocs
Soit {M=\begin{pmatrix}A &B\\C&D\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {A\in{\text{GL}}_{p}(\mathbb{R})}.
Montrer que : {\text{rg}(M)=p\Leftrightarrow D=CA^{-1}B.\quad}
Montrer que : {\text{rg}(M)=p\Leftrightarrow D=CA^{-1}B.\quad}
Polygônes réguliers
((Oral X-Cachan)
Soit \omega=\text{e}^{2i\pi/n} et {W_{n}= (\omega^{r(s-1)})} dans {{\mathcal{M}}_{n-2,n}(\mathbb{C})}.
1. Déterminer le rang de {W_{n}}.
2. Donner une base de {\text{Ker}(W_{n})}.
3. Caractériser les polygones réguliers à {n} sommets de sens direct.
Soit \omega=\text{e}^{2i\pi/n} et {W_{n}= (\omega^{r(s-1)})} dans {{\mathcal{M}}_{n-2,n}(\mathbb{C})}.
1. Déterminer le rang de {W_{n}}.
2. Donner une base de {\text{Ker}(W_{n})}.
3. Caractériser les polygones réguliers à {n} sommets de sens direct.
Base de matrices de rang p
(Oral Centrale)
Soient {n\in\,\mathbb{N}^*} et {p\in\{1,\ldots ,n\}}. L’objectif de l’exercice est de montrer qu’il existe une base de {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} formée de matrices de rang {p}.
Soient {n\in\,\mathbb{N}^*} et {p\in\{1,\ldots ,n\}}. L’objectif de l’exercice est de montrer qu’il existe une base de {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} formée de matrices de rang {p}.