Déterminant et pinceau de matrices
Étudier les contraintes imposées par {\det(A+tB)=\det A+t\det B}.
X Mp/Mpi
Inversibilité d’une matrice de signes
Inversibilité d’une matrice de taille paire à coeficients {\pm1} mais à diagonale nulle.
Stabilisateurs des sev de dim 5
Interprétation d’une matrice
Interpréter géométriquement {M=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.
Automorphismes du corps ℂ(X)
Décrire les endomorphismes du corps {\mathbb C(X)} par substitution d’une fraction rationnelle.
Convergence d’une suite de polynômes
Convergence d’une suite de polynômes définie par récurrence.
Inversion de Möbius
Établir et appliquer l’inversion de Möbius pour les sommes sur les diviseurs.
Premiers polynômes cyclotomiques
Montrer que les polynômes cyclotomiques sont dans {\mathbb{Z}[X]}. Calculer les huit premiers.
Racine commune et irréductibilité
Si {P,Q\in\mathbb{K}[X]} ont une racine commune, et si {P} est irréductible, alors {P} divise {Q}.
Corps ℚ(ω), où w5=1 et w≠1
Étudier le corps engendré {\mathbb{Q}(\omega)} par une racine cinquième primitive de l’unité.
Polynôme à valeurs premières sur ℕ
Quels polynômes entiers prennent uniquement des valeurs premières sur {\mathbb N} ?
Racines de polynômes tronqués
Polynômes surjectifs sur les rationnels
Polynôme avec extrema locaux fixés
Peut-on imposer les maxima et minima locaux d’un polynôme en des points alternés ?
Racines de l’unité dans Q[i]
Déterminer les racines de l’unité dans {\mathbb Q[i]}.
Indépendance des caractères
Montrer que des caractères distincts d’un groupe sont linéairement indépendants.
Sous-groupe d’ordre pa
Sous-groupes finis de (K*,x)
Étude des sous-groupes finis du groupe multiplicatif d’un corps.
Sous-groupe d’indice deux et signature
Représentations par somme de carrés
Carrés modulo le carré de p premier
Sous-gpes d’un produit semi-direct fini
Construire un groupe à partir de translations cycliques et de fonctions à valeurs dans {\mathbb F_2}
Classification des groupes d’ordre huit
Classer les groupes d’ordre {8}. Distinguer le cas abélien du cas diédral et quaternionique
Applications linéaires dans un groupe
Classification des groupes d’ordre dix
Utiliser les symétries d’un pentagone régulier pour classer les groupes d’ordre {10}.
Permutations qui sont des carrés
Quelles permutations s’écrivent comme le carré d’une autre permutation ?
Loi de réciprocité quadratique
Du critère d’Euler à la réciprocité quadratique.
Diviseurs premiers des entiers Fk
Étudier les diviseurs premiers des nombres de Fermat {F_k=1+2^{2^k}}.
Racines de l’unité modulo 2α
Nombre de carrés modulo pα
Combien de classes sont des carrés modulo {p^\alpha} ?