(Oral X Mp/Mpi)
Soit {r\in\mathbb Q}. Pour {n\in\mathbb N}, soit {a_n=2\cos(2^n\pi r)}.
Question a)
Montrer que {(a_n)_{n\in\mathbb N}} est périodique à partir d’un certain rang.
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Question b)
On suppose que {\cos(\pi r)\in\mathbb Q}. Montrer que tous les {a_n} sont dans {\mathbb Z}.
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Question c)
Vérifier que {\mathbb Q[i]=\{a+ib:(a,b)\in\mathbb Q^2\}} est un sous-corps de {\mathbb C}.
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Question d)
Déterminer les éléments d’ordre fini du groupe multiplicatif de {\mathbb Q[i]}.
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