(Oral X Mp/Mpi)
Soit {k\in\mathbb{N}} et {F_k=1+2^{2^k}}. Soit {p} un diviseur premier de {F_k}.
| Question a) Montrer que {p} est premier avec {2}. Trouver l’ordre de {2} dans le groupe {(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}}. |
| Question b) Soit {t\in\llbracket1,k+1\rrbracket}. Quelle est la classe de {p} modulo {2^t} ? |
| Question c) Montrer que, pour tout {t\in\mathbb{N}^{\star}}, il existe une infinité de nombres premiers congrus à {1} modulo {2^t}. |