(Oral X Mp/Mpi)
On considère {G} le groupe des symétries d’un pentagone régulier, c’est-à-dire les isométries vectorielles de {\mathbb{C}} conservant {\mathbb{U}_5}.
| Question a) Décrire {G}. En donner un système de générateurs. On note {\{r,s\}} un système de générateurs de {G}, avec {r^5=1} et {s^2=1}. Montrer que : {G=\{r^k:0\leqslant k\leqslant4\}\sqcup\{sr^k:0\leqslant k\leqslant4\}.} |
| Question b) On souhaite montrer que tout groupe à {10} éléments est isomorphe, soit à {\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}}, soit au groupe des symétries du pentagone. On considère un groupe {(G,\cdot)} à {10} éléments, non cyclique. Montrer que {G} possède un élément d’ordre {5}, noté {\rho}, et un élément d’ordre {2}, noté {\sigma}. Montrer que : {G=\{\rho^k:0\leqslant k\leqslant4\}\sqcup\{\sigma\rho^k:0\leqslant k\leqslant4\}.}Montrer que {\sigma\rho\sigma^{-1}\in\{\rho,\rho^{-1}\}}. En distinguant les cas, conclure. |