Classification des groupes d’ordre huit

Soit ${G}$ un groupe d’ordre ${8}$ non cyclique.

Question a)
Montrer qu’il admet un élément d’ordre

{2}

et que tous les éléments sont d’ordre

{1,2}

{4}

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Question b)
On suppose que tous les éléments sont d’ordre au plus

{2}

. Que dire de

{G}

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Question c)
On suppose désormais qu’il existe un élément

{a}

d’ordre

{4}

, et on note

{H}

le sous-groupe engendré par

{a}

. Montrer que

{xHx^{-1}=H}

pour tout

{x\in G}

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Question d)
Soit

{b\in G\setminus H}

. Montrer que

{bab^{-1}}

vaut

{a}

{a^3}

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Question e)
En déduire qu’il existe, à isomorphisme près, au plus cinq groupes d’ordre

{8}

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Question f)
Exhiber cinq groupes d’ordre

{8}

deux à deux non isomorphes.

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