(Oral X Mp/Mpi)
Soient {G} un groupe fini de neutre {e} et, pour {d} diviseur de {|G|}, {n_d(G)} le nombre d’éléments d’ordre {d} de {G}.
| Question a) Que vaut {\sum_{d\mid n}n_d(G)}, où {n=|G|} ? |
| Question b) Que déduire de la question précédente si {G} est cyclique ? |
| Question c) Montrer que {G} est cyclique si et seulement si, pour tout diviseur {d} de {|G|}, l’ensemble {\{x\in G:x^d=e\}} est de cardinal majoré par {d}. |
| Question d) On suppose qu’il existe un corps {\mathbb K} tel que {G} soit un sous-groupe de {(\mathbb K^{\star},\cdot)}. Montrer que {G} est cyclique. Que dire si {\mathbb K=\mathbb C} ? |