(Oral X Mp/Mpi)
Si {F\in\mathbb C(X)} est non constante, on pose {\Phi_F:R\mapsto R(F)} sur {\mathbb C(X)}. Les morphismes d’algèbre considérés préservent {1} et les scalaires complexes.
| Question a) Montrer que {\Phi_F} est un endomorphisme d’algèbre de {\mathbb C(X)}. |
| Question b) Montrer que tout endomorphisme d’algèbre de {\mathbb C(X)} est de la forme {\Phi_F} avec {F} non constante. |
| Question c) Montrer que tout endomorphisme d’algèbre de {\mathbb C(X)} est injectif. |
| Question d) Montrer que {\Phi} est un automorphisme d’algèbre si et seulement s’il existe {R\in\mathbb C(X)} tel que {\Phi(R)=X}. |
| Question e) Soit {F=P/Q} avec {\operatorname{pgcd}(P,Q)=1}. On suppose que {\Phi_F} est un automorphisme. Montrer que {\deg P\leqslant1} et {\deg Q\leqslant1}. |
| Question f) Déterminer complètement les automorphismes d’algèbre de {\mathbb C(X)}. |