X Mp/Mpi
Limite d’un quotient après dilatation
f > 0, intégrable, comportement en ∞
Unicité par positivité d’un noyau intégral
Fonctions positives échangées par un opérateur intégral à noyau {>0}.
Équation intégrale, série de Neumann
Étudier l’existence et l’unicité d’une solution continue d’une équation intégrale.
Estimation intégrale höldérienne
Une estimation contre les dérivées de fonctions tests donne une borne de {|f(x)\!-\!f(y)|}.
Majoration de |P(0)| par une intégrale
Équation de Wronskien et prolongement
Résoudre localement une équation de Wronskien, puis étudier son prolongement aux racines.
Inégalités entre dérivées successives
Décroissance sous contrainte
Si {f} positive décroissante vérifie une borne stricte sur {ff''/(f')^2}, montrer que {xf(x)\to0}.
Convexité à un terme quadratique près
Fonctions continues telles que fn=Id
Fonction presque multiplicative
Étude d’une fonction positive multiplicative à des facteurs constants près.
Fonctions à variation bornée
Fonctions à variation bornée et décomposition en différence de fonctions croissantes.
Fonction à maxima locaux prescrits
Construire {f\in C^\infty([0,1])} dont les maxima locaux forment une suite croissante fixée de limite 1.
Majorer les dérivées intermédiaires
Connaissant des majorations de {\|f\|_\infty} et {\|f^{(r)}\|_\infty}, majorer les {\|f^{(k)}\|_\infty} pour {1\le k\le r}.
Équations fonctionnelles
Sachant {f(x\!+\!1)\equiv f(x)\!+\!2}, construire {h} continue tq {h\!\circ\! f=2h} et {h(x\!+\!1)\equiv h(x)\!+\!1}
Équation fonctionnelle multiplicative
Résoudre l’équation continue {f(x\!+\!y)f(x\!-\!y)=f(x)^2f(y)^2}.
Inégalité exponentielle par convexité
Une minoration optimale de série
Récurrence binomiale
Résoudre exactement une récurrence donnée par une somme binomiale.
CV d’une série d’inverses de PPCM
Étudier la série des inverses des PPCM successifs d’une suite strictement croissante de {\mathbb{N}^\star}.
Série et permutation des entiers
La série {\sum\limits_{n\geqslant1}\sigma(n)/n^2} peut-elle converger pour une permutation {\sigma} des entiers positifs ?
Calcul d’une somme alternée
On calcule la somme {\sum\limits_{k\geqslant1}(-1)^k\ln(k)/k}.
Croissance des chemins simples
Croissance du nombre de chemins simples du réseau {\mathbb{Z}^2}.
Densité nulle et CV en moyenne
Étudier les suites positives bornées dont la moyenne tend vers zéro.
Équivalent et convergence quadratique
Étudier une récurrence polynomiale présentant un seuil entre convergence et divergence.