Croissance des chemins simples

Question a)
Soit

{(u_n)}

une suite réelle telle que

{u_{m+n}\leqslant u_m+u_n}

pour tous

{m,n\in\mathbb N}

. Montrer que

{(u_n/n)_{n\geqslant1}}

admet une limite dans

{[-\infty,+\infty[}

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Question b)
Un

{n}

-chemin dans

{\mathbb Z^2}

est une liste

{(x_0,\ldots,x_n)}

telle que

{\|x_{j+1}-x_j\|_1=1}

pour

{0\leqslant j\lt n}

. Il est simple lorsque ses points sont distincts. Soit

{A_n}

le nombre de

{n}

-chemins simples partant de

{(0,0)}

. Montrer qu’il existe

{\gamma\in[2,4]}

tel que

{A_n=o(t^n)}

pour tout

{t>\gamma}

, et

{t^n=o(A_n)}

pour tout

{t\in[0,\gamma[}

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