(Oral X Mp/Mpi)
| Question Soient {f\in C([0,1],\mathbb R)} et {p>0}. On suppose qu’il existe {C} tel que, pour toute fonction {\varphi:[0,1]\to\mathbb R} continue et de classe {C^1} par morceaux : {\int_0^1f(t)\varphi'(t)\,dt\leqslant C\left(\int_0^1|\varphi(t)|^p\,dt\right)^{1/p}.}Montrer qu’il existe {C'} tel que {|f(x)-f(y)|\leqslant C'|x-y|^{1/p}} pour tous {x,y\in[0,1]}. La réciproque est-elle vraie ? |